Propriétés des matrices élémentaires
Proposition : Transposée des matrices élémentaires

Soit un entier supérieur ou égal à . Les matrices élémentaires qui interviennent dans cet énoncé sont d'ordre . Soient deux entiers distincts et , compris entre et et un élément de . Alors

Soit un élément non nul de . Alors

La preuve est immédiate compte tenu des définitions.

Proposition : Produit de matrices élémentaires

Soit un entier supérieur ou égal à . Les matrices élémentaires qui interviennent dans cet énoncé sont d'ordre . Soient deux entiers distincts et , compris entre et , fixés. Soient et deux éléments quelconques de . Alors

Soient et deux éléments non nuls de .

Alors :

Preuve

Les propriétés de résultent immédiatement des règles de calcul sur les matrices diagonales.

Quant à celles des matrices , la deuxième est évidente d'après la définition et la première s'obtient facilement à partir de l'expression des matrices en fonction des matrices .

Fin de la preuve de la proposition

On a et

Alors , d'où . Or les entiers et sont distincts, donc ,

et il reste

Ces formules permettent d'obtenir, en restant dans le cadre du calcul matriciel, le résultat suivant, qui est fondamental pour les utilisations

Théorème : Inversibilité des matrices élémentaires

Soit un entier supérieur ou égal à . Les matrices élémentaires qui interviennent dans cet énoncé sont d'ordre . Soient deux entiers distincts et , compris entre et , fixés

Les matrices élémentaires sont inversibles et leurs inverses sont des matrices élémentaires. Plus précisément, on a

D'où, immédiatement, le corollaire suivant :

Corollaire

Si une matrice est un produit de matrices élémentaires, elle est inversible et son inverse est aussi un produit de matrices élémentaires.

Remarque : Synthèse, en termes de groupes, des résultats précédents

Soit un entier supérieur ou égal à . Soient et deux entiers fixés distincts, compris entre et . Si l'on note le groupe multiplicatif des matrices inversibles d'ordre à coefficients dans , l'application est un homomorphisme du groupe dans le groupe .

De même, l'application est un homomorphisme du groupe dans le groupe .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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