Expression des matrices élémentaires et des matrices d'échange en fonction des matrices Ei,j

Il est particulièrement intéressant, pour faire des calculs théoriques sur les matrices (en particulier des produits), d'introduire les matrices suivantes.

Définition : Définition générale des matrices E_{i,j}

Soient et deux entiers, supérieurs ou égaux à . On considère deux entiers et , respectivement compris entre et et et .

On note la matrice à lignes et colonnes dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la i-ième ligne, j-ième colonne qui est égal à .

Remarque

La même remarque que pour les matrices élémentaires peut être faite. La notation est à priori insuffisante puisqu'elle ne contient aucune information sur le type de matrice concernée. En fait c'est le contexte qui donne l'information.

Intérêt des matrices E_{i,j}

Il résulte des règles de calculs sur les matrices que toute matrice appartenant à peut être écrite en fonction des matrices de la façon suivante :

Si est un élément de , la matrice s'écrit .

Remarque

Pour les étudiants connaissant la structure d'espace vectoriel de : les matrices déterminent une base de , appelée base canonique de .

Produit de matrices lorsque ce produit existe

Soient trois entiers, supérieurs ou égaux à . Le type des matrices qui vont intervenir est choisi pour que les produits indiqués existent.

On considère donc les matrices appartenant à et appartenant à . Le produit existe ; c'est un élément de . Le résultat est le suivant :

Proposition : Table de multiplication des matrices E_{u,v}

Soient et trois entiers supérieurs ou égaux à et des entiers tels que .

Alors

désigne le symbole de Kronecker ( est égal à si et à si ).

Cela peut donc s'écrire :

La preuve résulte des formules de calcul du produit de deux matrices.

Preuve : Preuve de la proposition

La démonstration est basée sur la formule donnant le terme général d'une matrice produit. Il est donc nécessaire de fixer les notations.

Soit et avec

Alors, avec . Or

- si est différent de , on a, pour tout entier .

- si est différent de , on a, pour tout entier .

Donc pour tout couple , il reste à calculer .

Comme la seule valeur de pour laquelle est non nul est , et la seule valeur de pour laquelle est non nul est , alors, si est différent de ces deux conditions ne peuvent pas être satisfaites simultanément et donc . Si   . Donc on a .

Expression des matrices élémentaires à l'aide des matrices

On a immédiatement les formules suivantes :

Proposition : Expression des matrices élémentaires à l'aide de matrices E_{i,j}

Soit un entier supérieur ou égal à . Les matrices élémentaires et les matrices qui interviennent dans cet énoncé sont carrées d'ordre . Soient et deux entiers distincts compris entre et . alors

  • Si est un scalaire quelconque :

  • Si un scalaire non nul, la matrice diagonale peut s'écrire

Proposition : Expression des matrices d'échange à l'aide de matrices E_{i,j}

Soit un entier supérieur ou égal à . Soient et deux entiers distincts compris entre et , alors on a

La preuve de ces formules est immédiate.

Légende :
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