Expression des matrices élémentaires et des matrices d'échange en fonction des matrices Ei,j
Il est particulièrement intéressant, pour faire des calculs théoriques sur les matrices (en particulier des produits), d'introduire les matrices\( E_{i,j}\) suivantes.
Définition : Définition générale des matrices E_{i,j}
Soient \(n\) et \(p\) deux entiers, supérieurs ou égaux à \(2\). On considère deux entiers \(i\) et \(j\), respectivement compris entre \(1\) et \(n\) et \(1\) et \(p\).
On note la matrice à \(n\) lignes et \(p\) colonnes dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la i-ième ligne, j-ième colonne qui est égal à \(1\).
Remarque :
La même remarque que pour les matrices élémentaires peut être faite. La notation est à priori insuffisante puisqu'elle ne contient aucune information sur le type de matrice concernée. En fait c'est le contexte qui donne l'information.
Intérêt des matrices E_{i,j}
Il résulte des règles de calculs sur les matrices que toute matrice appartenant à \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) peut être écrite en fonction des matrices\( E_{i,j}\) de la façon suivante :
Si \(\mathcal A=(a_{i,j})_{\begin{array}{cccccc}1\leq i\leq n\\1\leq j\leq p\end{array}}\) est un élément de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\), la matrice \(\mathcal A\) s'écrit \(\displaystyle{\mathcal A=\sum_{{\begin{array}{cccccc}1\leq i\leq n\\1\leq j\leq p\end{array}}}a_{i,j}E_{i,j}}\).
Remarque :
Pour les étudiants connaissant la structure d'espace vectoriel de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\): les matrices \(E_{i,j}\) déterminent une base de\( \mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\), appelée base canonique de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\).
Produit de matrices \(E_{i,j}\) lorsque ce produit existe
Soient \(n, s, \textrm{ et }t\) trois entiers, supérieurs ou égaux à \(2\). Le type des matrices \(E_{u,v}\) qui vont intervenir est choisi pour que les produits indiqués existent.
On considère donc les matrices \(E_{i,j}\) appartenant à \(\mathcal M_{n,s}(\mathbf K)\) et \(E_{k,l}\) appartenant à \(\mathcal M_{s,t}(\mathbf K)\). Le produit \(E_{i,j}E_{k,l}\) existe ; c'est un élément de \(\mathcal M_{n,t}(\mathbf K)\). Le résultat est le suivant :
Proposition : Table de multiplication des matrices E_{u,v}
Soient\( n, s,\) et\( t\) trois entiers supérieurs ou égaux à \(2, i, j, k, \)et \(l\) des entiers tels que \(1\leq i\leq n,1\leq j\leq s,1\leq k\leq s,1\leq l\leq t\).
Alors
\(E_{i,j}E_{k,l}=\delta_{j,k}E_{i,l}\)
où \(\delta_{j,k}\) désigne le symbole de Kronecker ( \(\delta_{j,k}\) est égal à \(1\) si \(j=k\) et à \(0\) si \(j\neq k\) ).
Cela peut donc s'écrire :
\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}k\neq j&E_{i,j}E_{k,l}=0\\k=j&E_{i,j}E_{j,l}=E_{i,l}\end{array}}\)
La preuve résulte des formules de calcul du produit de deux matrices.
Preuve : Preuve de la proposition
La démonstration est basée sur la formule donnant le terme général d'une matrice produit. Il est donc nécessaire de fixer les notations.
Soit \(E_{i,j}=(\alpha_{p,q})\) et \(E_{k,l}=(\beta_{u,v})\) avec
\(\alpha_{i,j}=1,\textrm{ et }\forall(p,q)\in\{1,2,\cdots,n\}\times\{1,2,\cdots,s\},(p,q)\neq(i,j)\quad\alpha_{p,q}=0\)
\(\beta_{k,l}=1,\textrm{ et }\forall(u,v)\in\{1,2,\cdots,s\}\times\{1,2,\cdots,t\},(u,v)\neq(k,l)\quad\beta_{u,v}=0\)
Alors, \(E_{i,j} E_{k,l}=(\gamma_{p,v})\) avec\( \displaystyle{\gamma_{p,v}=\sum_{r=1}^{r=5}\alpha_{p,r}\beta_{r,v}}\) . Or
- si \(p\) est différent de\( i\), on a, pour tout entier \(r,\alpha_{p,r}=0\) .
- si \(v\) est différent de\( l\), on a, pour tout entier \(r,\beta_{r,v}=0\) .
Donc pour tout couple\( (p,v)\neq(i,l),\gamma_{p,v}=0\) , il reste à calculer \(\displaystyle{\gamma_{i,l}=\sum_{r=1}^{r=5}\alpha_{l,r}\beta_{r,l}}\).
Comme la seule valeur de\( r\) pour laquelle\( \alpha_{i,r}\) est non nul est \(r=j\), et la seule valeur de \(r\) pour laquelle \(\beta_{r,l}\) est non nul est\( r=k\) , alors, si \(k\) est différent de \(j\) ces deux conditions ne peuvent pas être satisfaites simultanément et donc\( \gamma_{i,l}=0\). Si \(k=j,\gamma_{i,l}=\alpha_{i,j}\beta_{j,l}=1\times1=1\) . Donc on a \(E_{i,j}E_{j,l}=E_{i,l}\).
Expression des matrices élémentaires à l'aide des matrices
On a immédiatement les formules suivantes :
Proposition : Expression des matrices élémentaires à l'aide de matrices E_{i,j}
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). Les matrices élémentaires et les matrices \(E_{i,j}\) qui interviennent dans cet énoncé sont carrées d'ordre \(n\). Soient \(i\) et \(j\) deux entiers distincts compris entre \(1\) et \(n\). alors
Si \(\lambda\) est un scalaire quelconque :
\(\displaystyle{\mathcal T_{i,j}(\lambda)=\left(\begin{array}{cccccc}1&0&\cdots&0\\0&\ddots&&\vdots\\\vdots&\lambda&\ddots&0\\0&&&1\end{array}\right)=\mathcal I_n+\lambda E_{i,j}}\)
Si \(\lambda est\) un scalaire non nul, la matrice diagonale \(\mathcal D_{i}(\lambda)\) peut s'écrire
\(\displaystyle{\mathcal D_i(\lambda)=\left(\begin{array}{ccccccccc}1&&&&\\&\ddots&&&\\&&\lambda&&\\&&&\ddots&\\&&&&1\end{array}\right)=\lambda E_{i,i}+\sum^{j=p}_{\begin{array}{cccccc}j=1\\ j\neq1\end{array}}}E_{j,j}\)
Proposition : Expression des matrices d'échange à l'aide de matrices E_{i,j}
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). Soient \(i\) et \(j\) deux entiers distincts compris entre \(1\) et \(n\), alors on a
\(\displaystyle{\Delta_{i,j}=E_{i,j}+E_{j,i}+\sum_{\begin{array}{cccccc}k\neq i\\k\neq j\end{array}}E_{k,k}}\)
La preuve de ces formules est immédiate.