Inversibilité des matrices d'échanges
Proposition : Inversibilité des matrices d'échange

Soit un entier supérieur ou égal à . Soient deux entiers distincts et , compris entre et fixés. Alors

Une matrice d'échange est inversible et égale à son inverse, soit

Preuve

Le deuxième résultat est une conséquence immédiate de la première formule. Cette dernière découle de l'expression des matrices en fonction des matrices .

Démonstration de la première formule

L'expression des matrices en fonction des matrices est donnée par la formule :

Alors .

On utilise alors la table de multiplication des matrices . Cela donne :

Dans le troisième terme de la somme, les seuls produits non nuls sont ceux pour lesquels les entiers et sont égaux.

D'où . Ce qui achève la démonstration.

Légende :
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