Multiplication à droite par une matrice élémentaire ou une matrice d'échange et opérations élémentaires sur les colonnes
Théorème : Opérations élémentaires sur les colonnes

Soit et deux entiers supérieurs ou égaux à . Soit .

  1. Soient et deux entiers distincts compris entre et et un élément quelconque de . On considère la matrice d'ordre , .

    La matrice produit s'obtient en remplaçant la j-ième colonne de par , et en laissant les autres inchangées.

  2. Soient un entier compris entre et et un élément non nul de . On considère la matrice d'ordre , . La matrice produit s'obtient en remplaçant la i-ième colonne de par , et en laissant les autres inchangées.

  3. Soient un entier compris entre et . On considère la matrice d'ordre . La matrice produit s'obtient en échangeant les i-ième et j-ième colonnes de , et en laissant les autres inchangées.

Remarque

Attention, à l'ordre des indices dans le premier cas. Le produit à droite par la matrice élémentaire , où j est le deuxième indice donne une transformation de la j-ième colonne de .

La preuve de ces formules est basée sur les expressions des matrices et des matrices élémentaires en fonction des matrices .

Démonstration

Soit une matrice appartenant à . Soient et deux entiers distincts, compris entre et .

Soit la matrice carrée d'ordre p, le produit existe. C'est une matrice à lignes et colonnes, donc du même type que .

La matrice peut s'écrire (où est carrée d'ordre ), d'où

Pour conclure, il s'agit de calculer la matrice .

On a

Compte tenu des règles de multiplication des matrices de type ,

il vient

Donc

Interprétation de cette égalité :

On a :

Les colonnes, autres que la j-ième, ne sont composées que de zéros.

Alors, la j-ième colonne de la matrice est obtenue en ajoutant fois sa i-ième colonne à la j-ième colonne de la matrice et en ne modifiant pas les autres. C'est le résultat voulu.

Remarque sur les notations : Attention

Dans la formule , les matrices de type qui interviennent ne sont pas toutes de même type, ce que les notations ne mettent pas en évidence. En effet, celles qui interviennent dans l'expression de , soit , sont de même type que , soit à lignes et colonnes.

Par contre la matrice de l'expression est carrée d'ordre puisqu'elle provient de la définition de la matrice carrée d'ordre , .

Le produit indiqué existe et donne une matrice à lignes et colonnes.

L'ambiguïté apparente des notations n'est donc pas gênante, à condition de bien réfléchir au contexte.

- Soit un entier compris entre et et la matrice d'ordre

Alors

soit

Cette matrice est obtenue à partir de la matrice en multipliant la i-ième colonne par et en laissant les autres inchangées.

Remarque

même remarque que précédemment pour les notations.

Le calcul de , peut aussi être fait sans difficultés, directement, avec les formules du produit de deux matrices.

- Soit deux entiers compris entre  et et la matrice d'échange.

Compte tenu de la table de multiplication des matrices ,

on obtient , d'où

Interprétation de ce résultat : la j-ième colonne de la matrice est donnée par le premier terme de cette somme : ses coefficients sont ceux de la i-ième colonne de . De même les coefficients de la i-ième colonne de sont ceux de la j-ième colonne de (deuxième terme de la formule). Enfin les autres colonnes de sont égales aux colonnes correspondantes de (dernier terme de la formule).

Remarque : Remarque importante :

Il en résulte que la multiplication à droite par un produit de matrices élémentaires (de type transvection) ayant le même indice j correspond à une transformation des colonnes : on obtient une matrice dont la j-ième colonne est égale à .

En particulier si est combinaison linéaire de colonnes , il existe un produit de matrices élémentaires tel que, en multipliant la matrice à droite par ce produit, on obtienne une matrice dont la j-ième colonne est une colonne formée uniquement de .

Ce résultat sera très utile dans la suite.

Légende :
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