Modèle de l'utilisation du produit à droite d'une matrice par des matrices élémentaires

Le principal intérêt du calcul qui suit est qu'il constitue un modèle de l'utilisation du produit à droite (respectivement à gauche) d'une matrice par des matrices élémentaires, quand on souhaite pouvoir comparer qualitativement la matrice trouvée et la matrice de départ.

La formule précédente donne une deuxième méthode pour caractériser le résultat du produit d'une matrice par une matrice d'échange. En effet, pour caractériser la matrice , on peut utiliser les résultats sur les produits par des matrices élémentaires et calculer par ce procédé la matrice . Nous ne le développons que pour le produit à droite, la démarche pour le produit à gauche est identique.

Calcul de .

Les colonnes de la matrice sont notées . Les produits successifs sont représentés de la manière suivante :

Produit de matrices :

Résultat : on trouve une matrice dont les colonnes sont :

  • -ième colonne :

  • -ième colonne (avec ) :

Preuve

Multiplier à droite par la matrice élémentaire revient à remplacer la -ième colonne par elle-même plus fois la -ième colonne et à laisser les autres inchangées.

Produit de matrices :

Résultat : on trouve une matrice dont les colonnes sont :

  • -ième colonne :

  • -ième colonne :

  • -ième colonne (avec et ) :

Preuve

Multiplier à droite par la matrice élémentaire revient à remplacer la -ième colonne par elle-même plus fois la -ième colonne (donc ici à remplacer par et à laisser les autres inchangées.

Produit de matrices :

Résultat : on trouve une matrice dont les colonnes sont :

  • -ième colonne :

  • -ième colonne :

  • -ième colonne (avec et ) :

Preuve

Multiplier à droite par la matrice élémentaire revient à remplacer la -ième colonne par elle-même plus fois la -ième colonne (donc ici à remplacer par et à laisser les autres inchangées.

Produit de matrices :

Résultat : on trouve une matrice dont les colonnes sont :

  • -ième colonne :

  • -ième colonne :

  • -ième colonne (avec et ) :

Preuve

Multiplier à droite par la matrice élémentaire revient à multiplier la -ième colonne par et à laisser les autres inchangées.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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