Matrices carrées

Le principal intérêt du calcul qui suit est qu'il constitue un modèle de l'utilisation du produit à droite (respectivement à gauche) d'une matrice par des matrices élémentaires, quand on souhaite pouvoir comparer qualitativement la matrice trouvée et la matrice de départ.

La formule précédente donne une deuxième méthode pour caractériser le résultat du produit d'une matrice par une matrice d'échange. En effet, pour caractériser la matrice\( \mathcal A\Delta_{i,j}\), on peut utiliser les résultats sur les produits par des matrices élémentaires et calculer par ce procédé la matrice \(\mathcal A[\mathcal T_{i,j}(1)\mathcal T_{j,i}(-1)\mathcal T_{i,j}(1)\mathcal D_i(-1)]\). Nous ne le développons que pour le produit à droite, la démarche pour le produit à gauche est identique.

Calcul de \(\mathcal A[\mathcal T_{i,j}(1)\mathcal T_{j,i}(-1)\mathcal T_{i,j}(1)\mathcal D_i(-1)]\).

Les colonnes de la matrice \(\mathcal A\) sont notées\( \mathcal C_k\). Les produits successifs sont représentés de la manière suivante :

Produit de matrices : \(AT_{i,j}(1)\)

Résultat : on trouve une matrice dont les colonnes sont :

• \(j\)-ième colonne : \(C_j+C_i\)

• \(k\)-ième colonne (avec \(k\ne j\)) : \(C_k\)

Produit de matrices : \(AT_{i,j}(1) T_{j,i}(-1)\)

Résultat : on trouve une matrice dont les colonnes sont :

• \(i\)-ième colonne : \(-C_j\)

• \(j\)-ième colonne : \(C_j+C_i\)

• \(k\)-ième colonne (avec \(k\ne i\) et \(k\ne j\)) : \(C_k\)

Produit de matrices : \(AT_{i,j}(1)T_{j,i}(-1)T_{i,j}(1)\)

Résultat : on trouve une matrice dont les colonnes sont :

• \(i\)-ième colonne : \(-C_j\)

• \(j\)-ième colonne : \(C_i\)

• \(k\)-ième colonne (avec \(k\ne i\) et \(k\ne j\)) : \(C_k\)

Produit de matrices : \(AT_{i,j}(1)T_{j,i}(-1)T_{i,j}(1)D_i(-1)\)

Résultat : on trouve une matrice dont les colonnes sont :

• \(i\)-ième colonne : \(C_j\)

• \(j\)-ième colonne : \(C_i\)

• \(k\)-ième colonne (avec \(k\ne i\) et \(k\ne j\)) : \(C_k\)