Multiplication à gauche par une matrice élémentaire ou une matrice d'échange et opérations élémentaires sur les lignes

On s'intéresse évidemment aussi au produit à gauche d'une matrice par des matrices élémentaires.

On a les propriétés suivantes :

Théorème : Opérations élémentaires sur les lignes

Soit deux entiers supérieurs ou égaux à . Soit .

  1. Soient deux entiers distincts compris entre et et un élément quelconque de . On considère la matrice d'ordre , .

    La matrice s'obtient en remplaçant, la i-ième ligne de par , et en laissant les autres inchangées.

  2. Soient un entier compris entre , un élément non nul de .

    On considère la matrice d'ordre , .

    La matrice s'obtient en remplaçant la i-ième ligne de par , et en laissant les autres inchangées.

  3. Soient deux entiers compris entre .

    On considère la matrice d'ordre , .

    La matrice produit s'obtient en échangeant les i-ième et j-ième lignes de , et en laissant les autres inchangées.

Remarque : Remarque 1

Attention, à l'ordre des indices dans le premier cas. Le produit à gauche par la matrice élémentaire , où est le premier indice donne une transformation de la -ième ligne de .

Remarque : Remarque 2

La preuve de ces formules pourrait évidemment être calquée sur celle des opérations sur les colonnes, en utilisant les expressions des matrices et des matrices élémentaires en fonction des matrices ...

... mais il est plus intéressant de la faire en utilisant les propriétés de la transposition, qui nous permettront de les déduire du théorème analogue déjà vu concernant les colonnes.

Démonstration

Compte tenu des propriétés de la transposition, il vient : .

Or la transposée d'une matrice élémentaire est encore une matrice élémentaire, plus précisément :

(ATTENTION à l'interversion des indices). L'égalité précédente devient donc : . On est donc ramené à multiplier à droite par une matrice élémentaire et donc à faire une transformation élémentaire sur les colonnes de .

Donc, compte tenu des résultats vus précédemment, la matrice s'obtient en remplaçant la i-ième colonne de par et en laissant les autres inchangées. Or les colonnes de la matrice sont les lignes de .

Donc la matrice a pour i-ième colonne , et pour -ième colonne, avec différent de , , où désigne la s-ième ligne de .

Alors, toujours en utilisant le fait que la transposition échange les lignes et les colonnes, on en déduit que la matrice a pour i-ième ligne , et pour -ième ligne, avec différent de , , où désigne la -ième ligne de .

La démonstration est exactement la même pour , en utilisant le fait que .

De même pour , en utilisant la propriété .

En effet, . Donc, en utilisant le résultat obtenu pour les colonnes, la matrice est obtenu à partir de la matrice en échangeant les -ième et -ième colonnes et en laissant les autres inchangées. La transposition échangeant lignes et colonnes, le résultat s'en déduit immédiatement.

Remarque : Remarque importante

Il en résulte que la multiplication à gauche par un produit de matrices élémentaires (de type transvection) ayant le même indice correspond au remplacement de la i-ième ligne par .

En particulier si est combinaison linéaire de lignes , il existe un produit de matrices élémentaires, tel que si on multiplie à gauche la matrice de départ par ce produit, on obtient une matrice dont la ligne ne comporte que des . Ce résultat sera très utile dans la suite.

Légende :
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