Multiplication à gauche par une matrice élémentaire ou une matrice d'échange et opérations élémentaires sur les lignes
On s'intéresse évidemment aussi au produit à gauche d'une matrice par des matrices élémentaires.
On a les propriétés suivantes :
Théorème : Opérations élémentaires sur les lignes
Soit\( n\textrm{ et }p\) deux entiers supérieurs ou égaux à \(2\). Soit \(\mathcal M\in\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\).
Soient \(i \textrm{ et }j\) deux entiers distincts compris entre \(1 \)et \(n\) et \(\lambda\) un élément quelconque de \(\mathbf K\). On considère la matrice d'ordre \(n\),\( \mathcal T_{i,j}(\lambda)\).
La matrice \(\mathcal T_{i,j}(\lambda)\mathcal M\) s'obtient en remplaçant, la i-ième ligne \(\mathcal L_i\) de \(\mathcal M\) par \(\mathcal L_i+\lambda\mathcal L_j\), et en laissant les autres inchangées.
Soient \(i\) un entier compris entre \(1 \textrm{ et }n\), un élément non nul de \(\mathbf K\).
On considère la matrice d'ordre \(n\), \(\mathcal D_i(\lambda)\).
La matrice\( \mathcal D_i(\lambda)\mathcal M\) s'obtient en remplaçant la i-ième ligne \(\mathcal L_i\) de \(\mathcal M\) par \(\lambda\mathcal L_i\), et en laissant les autres inchangées.
Soient\( i \textrm{ et }j\) deux entiers compris entre \(1 \textrm{ et }n\).
On considère la matrice d'ordre \(n\),\(\Delta_{i,j}\) .
La matrice produit \(\Delta_{i,j}\mathcal M\) s'obtient en échangeant les i-ième et j-ième lignes de\( \mathcal M\), et en laissant les autres inchangées.
Remarque : Remarque 1
Attention, à l'ordre des indices dans le premier cas. Le produit à gauche par la matrice élémentaire \(\mathcal T_{i,j}(\lambda)\), où \(i\) est le premier indice donne une transformation de la \(i\) -ième ligne de \(\mathcal M\).
Remarque : Remarque 2
La preuve de ces formules pourrait évidemment être calquée sur celle des opérations sur les colonnes, en utilisant les expressions des matrices et des matrices élémentaires en fonction des matrices ...\( E_{i,j}\)
... mais il est plus intéressant de la faire en utilisant les propriétés de la transposition, qui nous permettront de les déduire du théorème analogue déjà vu concernant les colonnes.
Démonstration :
Compte tenu des propriétés de la transposition, il vient : \({}^t[\mathcal T_{i,j}(\lambda)\mathcal M]={}^t\mathcal M{}^t\mathcal T_{i,j}(\lambda)\).
Or la transposée d'une matrice élémentaire est encore une matrice élémentaire, plus précisément : \({}^t\mathcal T_{i,j}(\lambda)=\mathcal T_{j,i}(\lambda)\)
(ATTENTION à l'interversion des indices). L'égalité précédente devient donc : \({}^t[\mathcal T_{i,j}(\lambda)\mathcal M]={}^t\mathcal M{}^t\mathcal T_{i,j}(\lambda)\) . On est donc ramené à multiplier à droite par une matrice élémentaire et donc à faire une transformation élémentaire sur les colonnes de \({}^t\mathcal M\).
Donc, compte tenu des résultats vus précédemment, la matrice \({}^t\mathcal M\mathcal T_{j,i}(\lambda)\) s'obtient en remplaçant la i-ième colonne \(\mathcal C_i\) de\( {}^t\mathcal M\) par \(\mathcal C_i+\lambda\mathcal C_j\) et en laissant les autres inchangées. Or les colonnes de la matrice \({}^t\mathcal M\) sont les lignes de \(\mathcal M\).
Donc la matrice \({}^t[\mathcal T_{i,j}(\lambda)\mathcal M]={}^t\mathcal M{}^t\mathcal T_{j,i}(\lambda)\) a pour i-ième colonne \(\mathcal L_i+\lambda\mathcal L_j\), et pour \(k\)-ième colonne, avec \(k\) différent de \(i\),\(\mathcal L_k\), où \(\mathcal L_s\) désigne la s-ième ligne de \(\mathcal M\).
Alors, toujours en utilisant le fait que la transposition échange les lignes et les colonnes, on en déduit que la matrice \(\mathcal T_{i,j}(\lambda)\mathcal M\) a pour i-ième ligne \(\mathcal L_i+\lambda\mathcal L_j\), et pour \(k\)-ième ligne, avec \(k\) différent de \(i\),\(\mathcal L_k\) , où \(\mathcal L_s\) désigne la \(s\)-ième ligne de \(\mathcal M\).
La démonstration est exactement la même pour \(\mathcal D_i(\lambda)\), en utilisant le fait que \({}^t\mathcal D_i(\lambda)=\mathcal D_i(\lambda)\) .
De même pour \(\Delta_{i,j}\mathcal M\), en utilisant la propriété \({}^t\Delta_{i,j}=\Delta_{i,j}\).
En effet,\({}^t[\Delta_{i,j}\mathcal M]={}^t\mathcal M{}^t\Delta_{i,j}={}^t\mathcal M\Delta_{i,j}\). Donc, en utilisant le résultat obtenu pour les colonnes, la matrice \({}^t[\Delta_{i,j}\mathcal M]\) est obtenu à partir de la matrice \({}^t\mathcal M\) en échangeant les \(i\)-ième et \(j\)-ième colonnes et en laissant les autres inchangées. La transposition échangeant lignes et colonnes, le résultat s'en déduit immédiatement.
Remarque : Remarque importante
Il en résulte que la multiplication à gauche par un produit \(\displaystyle{\prod_{j=1,j\neq1}^{j=k}\mathcal T_{i,j}(\lambda_j)}\) de matrices élémentaires (de type transvection) ayant le même indice \(i\) correspond au remplacement de la i-ième ligne \(\mathcal L_i\) par \(\displaystyle{\mathcal L_i+\sum_{j=1,j\neq1}^{j=k}\lambda_j\mathcal L_j}\).
En particulier si \(\mathcal L_i\) est combinaison linéaire de lignes \(\mathcal L_j\), il existe un produit de matrices élémentaires, tel que si on multiplie à gauche la matrice de départ par ce produit, on obtient une matrice dont la ligne \(\mathcal L_i\) ne comporte que des \(0\). Ce résultat sera très utile dans la suite.