Expression des matrices d'échange comme produit de matrices élémentaires

Soient un entier supérieur ou égal à , et deux entiers distincts compris entre et . La matrice d'échange est la matrice :

C'est-à-dire la matrice carrée d'ordre dont :

  • Les éléments de la diagonale principale sont tous égaux à , sauf ceux de les -ième et -ième, qui sont nuls.

  • L'élément de la -ième ligne, ième colonne est égal à , ainsi que celui de -ième ligne, -ième colonne.

  • Tous les autres éléments sont nuls.

L'objet de ce paragraphe est d'exprimer comme produit de matrices élémentaires.

Intuitivement, comme éléments ont changé de place, il est naturel de penser que matrices élémentaires sont nécessaires.

L'idée est de partir de la matrice unité et de la multiplier à droite par des matrices élémentaires jusqu'à l'obtention de la matrice . On utilise les résultats précédents sur les transformations élémentaires.

Si l'on considère la matrice , pour faire apparaître un à la -ième ligne et -ième colonne sans modifier le reste, il suffit de remplacer la colonne par donc de multiplier à droite par la matrice élémentaire . On obtient alors la matrice , soit .

Pour obtenir, à partir de cette matrice une matrice ayant comme -ième élément de la diagonale principale, sans modifier le reste, il suffit de remplacer la colonne par donc de multiplier à droite par la matrice élémentaire .

On obtient alors la matrice la matrice égale à

Pour faire apparaître un à la -ième place de la diagonale principale sans modifier le reste, il suffit de remplacer la colonne par donc de multiplier à droite par la matrice élémentaire . On obtient alors la matrice qui est égale à :

Il ne reste plus qu'à remplacer le qui est à la -ième ligne -ième colonne par . Pour cela, comme c'est le seul élément non nul de cette colonne, il suffit de multiplier tous ses termes par donc de multiplier la matrice par .

On obtient alors

Remarque : Remarque 1

Toutes les matrices élémentaires qui interviennent dans cette formule sont de même ordre que .

Remarque : Remarque 2

Cette démarche est assez naturelle car elle permet de "trouver" la formule. Elle constitue un exemple non classique d'utilisation des transformations élémentaires. Bien sûr, cette formule pourrait être vérifiée en utilisant les expressions des matrices élémentaires en fonction des matrices .

Démonstration

On va calculer .

D'après les expressions des matrices élémentaires en fonction des matrices , on a : ,

et .

Compte tenu de la table de mutiplication des matrices , on obtient puis et donc . Ce qui donne, en multipliant à droite par , le résultat

ce qui est bien la matrice annoncée.

Conclusion : Cela prouve qu'en fait, toutes les transformations élémentaires d'une matrice se ramènent au produit, à droite ou à gauche, de cette matrice par des matrices élémentaires, transvection ou dilatation.

Légende :
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