Matrices équivalentes
Le résultat que nous venons d'obtenir prouve que la relation entre deux matrices\( \mathcal A\) et\( \mathcal A'\) représentant la même application linéaire par rapport à des bases différentes est de la forme \(\mathcal A'=\mathcal{QAP}\) où\( \mathcal Q\) et \(\mathcal P\) sont des matrices carrées inversibles. Les matrices liées par une relation de ce type ont donc des propriétés automatiquement communes, celles d'une même application linéaire sous-jacente.
Définition : Définition de l'équivalence de deux matrices
Soient\( \mathcal A\) et \(\mathcal B\) deux matrices de \(\mathcal M_{n,p}\mathbf(K)\). On dit que \(\mathcal A\) est équivalente à \(\mathcal B\) si il existe une matrice carrée inversible \(\mathcal P\in\mathcal M_p(\mathbf K)\) et \(\mathcal Q\in\mathcal M_n(\mathbf K)\) une matrice carrée inversible telles que :
\(\mathcal A=\mathcal{QBP}\)
Remarque : Remarque 1
L'égalité \(\mathcal A=\mathcal{QBP}\) est équivalente à l'égalité :\( \mathcal B=\mathcal Q^{-1}\mathcal A\mathcal P^{-1}\). Comme \(\mathcal Q^{-1}\) et \(\mathcal P^{-1}\) sont inversibles, \(\mathcal B\) est équivalente à \(\mathcal A\). La relation est donc symétrique.
Il est immédiat qu'elle est reflexive. (il suffit de prendre \(\mathcal P=\mathcal I_p\) et \(\mathcal Q=\mathcal I_n\) on a bien \(\mathcal A=\mathcal I_n\mathcal A\mathcal I_p\))
Enfin si \(\mathcal A\) est équivalente à \(\mathcal B\) et \(\mathcal B\) à \(\mathcal C\) alors \(\mathcal A\) est équivalente à \(\mathcal C\) (calcul immédiat sur les produits de matrices). Donc la relation est transitive.
En résumé
La relation "être équivalente" est une relation d'équivalence sur \(\mathcal M_{n,p}\mathbf(K)\).
Remarque : Remarque 2
Il résulte immédiatement de l'étude faite précédemment que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles représentent une même application linéaire de \(\mathbf K^p\) dans \(\mathbf K^n\) par rapport à des bases différentes.
Remarque : Remarque 3
Pour ceux qui connaissent la notion de rang d'une matrice, et son interprétation à l'aide des applications linéaires.
Deux matrices équivalentes ont même rang.
Exemple :
Une matrice carrée inversible d'ordre \(n\) quelconque est équivalente à \(\mathcal I_n\). En effet, il est possible d'écrire \(\mathcal I_n(\mathcal A)\mathcal A^{-1}=\mathcal I_n\); le fait que \(\mathcal I_n\) et \(\mathcal A^{-1}\) sont inversibles, permet de conclure.