Matrices équivalentes

Le résultat que nous venons d'obtenir prouve que la relation entre deux matrices et représentant la même application linéaire par rapport à des bases différentes est de la forme et sont des matrices carrées inversibles. Les matrices liées par une relation de ce type ont donc des propriétés automatiquement communes, celles d'une même application linéaire sous-jacente.

Définition : Définition de l'équivalence de deux matrices

Soient et deux matrices de . On dit que est équivalente à si il existe une matrice carrée inversible et une matrice carrée inversible telles que :

Remarque : Remarque 1

L'égalité est équivalente à l'égalité : . Comme et sont inversibles, est équivalente à . La relation est donc symétrique.

Il est immédiat qu'elle est reflexive. (il suffit de prendre et on a bien )

Enfin si est équivalente à et à alors est équivalente à (calcul immédiat sur les produits de matrices). Donc la relation est transitive.

En résumé

La relation "être équivalente" est une relation d'équivalence sur .

Remarque : Remarque 2

Il résulte immédiatement de l'étude faite précédemment que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles représentent une même application linéaire de dans par rapport à des bases différentes.

Remarque : Remarque 3

Pour ceux qui connaissent la notion de rang d'une matrice, et son interprétation à l'aide des applications linéaires.

Deux matrices équivalentes ont même rang.

Exemple

Une matrice carrée inversible d'ordre quelconque est équivalente à . En effet, il est possible d'écrire ; le fait que et sont inversibles, permet de conclure.

Légende :
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