Matrices semblables
Cette notion concerne les matrices carrées.
Définition : Relation de similitude sur \mathcal M_n(\mathbf K)
On dit que deux matrices \(\mathcal A\) et \(\mathcal B\) de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) sont semblables s'il existe une matrice inversible \(\mathcal P\) appartenant à \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) telle que \(\mathcal A=\mathcal{PBP}^{-1}\)
On a les propriétés suivantes :
C'est une relation d'équivalence
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases prises simultanément comme base de départ et d'arrivée.
Des matrices semblables sont équivalentes.
Attention :
La réciproque est fausse. Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que la seule matrice semblable à \(\mathcal I_n\) est \(\mathcal I_n\) elle-même ( \(\mathcal P\mathcal I_n\mathcal P^{-1}=\mathcal I_n\) pour toute matrice inversible \(\mathcal P\) d'ordre \(n\)) alors que toutes les matrices inversibles d'ordre \(n\) sont équivalentes à\( \mathcal I_n\) (voir l'exemple ci-dessus).