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Equations à variables séparables
Définition

On appelle équation différentielle à variables séparables une équation qui peut s'écrire

(1).

Nous supposerons que les fonctions et sont dérivables, et que leurs dérivées sont continues.

Nous pouvons donc appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz : si on se donne des réels

et , il existe une solution et une seule vérifiant . Une telle solution est définie sur un certain intervalle .

Nous allons montrer qu'on peut en général expliciter ces solutions.

Solutions constantes

Si s'annule en un point , la fonction constante est solution de (1).

A chaque racine de l'équation correspond donc une solution constante.

En vertu de l'unicité évoquée ci-dessus, une solution non constante ne peut prendre aucune valeur telle que .

Graphiquement, les solutions constantes ont pour graphes des horizontales, et le graphe d'une autre solution reste dans une des bandes ainsi délimitées.

La figure ci-dessous concerne l'équation .

Elle est à variables séparables : on a .

On a tracé les deux solutions constantes .

En cliquant sur un point qui n'est pas sur une de ces horizontales, vous verrez apparaître le graphe de la solution passant par ce point ; on peut observer que ces graphes ne croisent pas les droites et , même si elles s'en approchent très près.

Complément

Si , la fonction constante est une solution.

Si une autre solution prenait la valeur pour un certain , on aurait

,

ce qui contredirait le théorème d'unicité.

Solutions non constantes

Soit une solution non constante, définie sur un intervalle . D'après ce qu'on a vu, si , ne peut pas être nul. On peut donc écrire (1) sous la forme

Théorème

Soient  une primitive de , et  une primitive de . Alors il existe une constante telle que, pour tout de , .

Dans la pratique, on cherche à résoudre en l'équation pour obtenir une expression de . Ce n'est pas toujours possible.

Exemple : Exemple 1 :

`y^' = xy`

La fonction est une solution constante; les autres solutions ne s'annulent donc jamais. Une solution non constante vérifie

, donc , et les solutions s'écrivent

Ces solutions sont définies sur tout entier.

Exemple : Exemple 2 :

L'equation n'existe que si .

On a alors , d'où .

On doit prendre la constante positive; la formule fournit alors deux solutions distinctes :

et .

Ces deux solutions sont définies sur l'intervalle ; leurs graphes sont des demi-cercles centrés à l'origine.

La figure ci-dessous en montre quelques unes. vous pouvez cliquer sur la fenêtre pour en voir d'autres.

Légende :
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