Equations différentielles autonomes
Définition :
On appelle équation différentielle autonome une équation de la forme \(y' = g(y)\). La variable \(x\) n'intervient pas dans l'équation.
Exemple :
Les équations \(\displaystyle{y' = y, y' = (y + 1) \textrm{Arctg}(y^2 + \sin y)}\) sont autonomes. Les équations \(\displaystyle{y' = xy}\), \(\displaystyle{y' = x + y}\) ne sont pas autonomes.
Nous supposerons toujours que la fonction \(g\)possède une dérivée continue, de sorte que le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique : si on se donne des réels \(x_0\) et \(y_0\), il existe une solution \(y = u(x)\) et une seule vérifiant \(u(x_0) = y_0\). Une telle solution est définie sur un certain intervalle \(I\).
Une équation autonome est en particulier une équation à variables séparables : elle est de la forme \(y' = f(x) g(y)\), avec \(f(x)=1\).
Pour tout \(y_0\) vérfiant \(g(y_0) = 0\), la fonction constante \(u(x) = y_0\) est une solution. Pour trouver les autres solutions, on applique la méthode générale de résolution des équations autonomes : ici cela veut dire qu'on prend une primitive \(G\) de \(1/g\) , et on essaie de résoudre en \(y\) l'équation \(x + C = G(y)\).
Complément : Théorème (de Cauchy - Lipschitz)
Si la fonction \(f(x, y)\) admet des dérivées partielles (par rapport à \(x\) et \(y\)) qui sont continues, et si l'on se fixe des réels \(x_0\) et \(y_0\), il existe une solution \(u(x)\) et une seule de l'équation \(y' = f(x, y)\), définie sur un intervalle \(I\) contenant \(x_0\), qui vérifie \(u(x_0) = y_0\).
Dans le cas d'une équation autonome \(y' = g(y)\), la dérivée partielle par rapport à \(x\) est nulle, celle par rapport à \(y\) vaut \(g'(y)\).
Définition :
Une équation autonome est en particulier une équation à variables séparables : elle est de la forme \(y' = f(x) g(y)\), avec \(f(x)=1\).
Pour tout \(y_0\) vérfiant \(g(y_0) = 0\), la fonction constante \(u(x) = y_0\) est une solution. Pour trouver les autres solutions, on applique la méthode générale de résolution des équations autonomes : ici cela veut dire qu'on prend une primitive \(G\) de \(1/g\), et on essaie de résoudre en \(y\) l'équation \(x + C = G(y)\).
Propriété : Propriété du champ :
La direction du champ est la même en deux points \((y, x_1)\) et \((y, x_2)\) situés sur une même horizontale : la pente vaut alors \(g(y)\), qui ne dépend pas de l'abscisse \(x\). On dit que le champ est invariant par translations horizontales ; les isoclines sont donc constituées de droites horizontales.
Propriété : Propriété des solutions :
Soit \(u(x)\) une solution de \(y' = g(y)\). Si nous translatons horizontalement son graphe d'une quantité a, nous obtenons le graphe d'une autre fonction \(v(x)\). Comme le graphe de \(u\) est tangent en chaque point au champ de directions et que ce champ est invariant par translations horizontales, le graphe de \(v\) est lui aussi tangent en chaque point au champ : \(v(x)\) est donc aussi une solution de \(y' = g(y)\). Or la fonction \(v\) s'écrit \(v(x) = u(x + a)\) (faites un dessin pour vous en convaincre ! ).
Théorème :
Si \(u(x)\) est une solution de l'équation autonome \(y' = g(y)\) définie sur un intervalle \(I\), alors les fonctions \(v_C (x) = u(x + C)\) (\(C\) constante réelle quelconque) définies sur \(\)sont solutions de l'équation.
Attention :
A partir d'une solution donnée, on n'obtient en général pas par translation toutes les solutions de \(y' = g(y)\). Par exemple, si \(c(x) = y_0\) est une solution constante et que \(u(0) < y_0\), alors \(u(x) < y_0\) pour tous les \(x\) de \(I\), et ses translatés vérifient la même propriété : on n'obtiendra donc, en translatant le graphe de \(U\), aucune des solutions \(V\) telles que \(v(0) > y_0\).
Proposition :
Les solutions non constantes d'une équation autonome sont strictement monotones.
Démonstration :
Une solution \(u(x)\) étant définie sur un intervalle \(I\), si elle n'était pas monotone, sa dérivée s'annulerait en un point \(x_0\) de \(I\). Posons \(y0 = u(x_0)\). On aurait alors \(g(y_0) = 0\), et la fonction constante \(c(x) = y_0\) serait solution, ce qui contredirait le principe d'unicité, les solutions \(c(x)\) et \(u(x)\) prenant la même valeur en \(x_0\)
La figure ci-dessous vous propose quelques équations autonomes.
Dès que vous choisissez une équation, vous voyez le champ de tangentes, et pouvez constater qu'il est constant sur toute horizontale. En cliquant sur un point du graphique, vous verrez le graphe de la solution passant par ce point.
Vérifiez qu'en cliquant sur des points de même ordonnée, on obtient des graphes se déduisant l'un de l'autre par translation horizontale.