Mathématiques
Précédent
Equation différentielle liée à une famille de courbes donnée

Il s'agit dans cette page du problème inverse des précédents : connaissant une famille de fonctions, y-a-t-il une équation différentielle dont cette famille représente les solutions ?

Plus précisément, soit une fonction dérivable dépendant d'un paramètre . Sa dérivée par rapport à est .

On peut souvent éliminer entre les deux équations et .

On obtient alors une équation . C'est l'équation différentielle cherchée.

On obtient alors une équation . C'est l'équation différentielle cherchée.

  • L'équation est-elle partout définie ?

  • Dans quelle région du plan peut-elle se mettre sous la forme  ?

  • Toutes les solutions de sont-elles de la forme , c'est à dire appartiennent-elles à la famille initiale ?

Exemple : équation différentielle liée à une famille de paraboles.

Considérons la famille (pour appartenant à ).

Toutes ces courbes sont des paraboles passant par l'origine, et tangentes à l'origine à la droite .

La dérivation de donne .

En éliminant entre les équations et , on obtient

.

C'est l'équation cherchée.

Cette équation est partout définie, mais ce n'est que si , soit en dehors de l'axe des , que l'on peut l'écrire sous la forme

L'équation est une équation linéaire à coefficient variable (le coefficient de est ) avec second membre, définie pour .

La solution générale de l'équation homogène associée est la fonction , définie soit pour , soit pour (puisque que l'équation n'est pas définie pour ).

Une solution particulière de est (définie aussi soit pour , soit pour ).

La solution générale de est donc , définie soit pour , soit pour .

Toutes les fonctions se prolongent par continuité en posant . On a toujours alors, quelque soit , .

Si et sont deux réels quelconque, la fonction définie par si , si , et est continue, dérivable partout, même en , et est solution de  : on peut ainsi "recoller" n'importe quelle solution définie pour avec n'importe quelle solution définie pour .

Comme l'équation ne peut pas se mettre sous la forme dans un voisinage de l'origine, cela ne contredit pas le théorème d'Unicité de Cauchy-Lipschitz.

On retrouve bien que toutes les fonctions sont des solutions de , mais ce ne sont pas les seules : une solution peut bifurquer à l'origine en changeant la valeur de .

Sur la figure ci-dessous, on voit quelques unes de ces solutions. En cliquant sur un point d'abscisse négative puis sur un point d'abscisse positive, on peut construire à sa guise une solution définie pour tout réel. Vous la verrez en vert.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)