Résolution explicite

Equation de Clairaut : $\displaystyle{yy' - xy'^ 2 - 1 = 0}$ (1)

L'équation ne peut avoir de solution passant par un point $(x_0, y_0)$ que si l'équation de second degré en $\displaystyle{y' y_0 y' - x_0 y'^ 2 - 1 = 0}$ a des solutions réelles, soit si $y_0^ 2 - 4 x_0$ positif ou nul. Par un point intérieur à la parabole (P) : $y^2 = 4x$, il ne passe aucune solution. Par ailleurs, en dérivant l'équation (1), on trouve $y" (y - 2xy') = 0$. Il est donc naturel de chercher des solutions vérifiant $y" = 0$, c'est-à-dire des droites.

Cherchons si $\displaystyle{u (x) = ax + b}$ peut-être une solution ; en remplaçant $y$ par $ax + b$ et $y'$ par a, on trouve comme condition $ab = 1$. Les droites $\displaystyle{y = ax + 1/a}$ sont donc solutions de (1) pour tout a non nul. On peut vérifier facilement que ces droites sont tangentes à la parabole (P) au point $(1/a^2, 2/a)$.

Notons $D$ l'ensemble des points $(x, y)$ qui vérifient la condition $\displaystyle{y^2 - 4x > 0}$, c'est à dire l'extérieur de la parabole $y^2 = 4x$.

Dans $D$ (et pour $x$ non nul), on peut résoudre l'équation (1) par rapport à $y'$, ce qui donne deux équations

$\displaystyle{y' = (y \pm (y^2 - 4x)^{1/2})/x}$ (2).

Ces deux équations vérifient dans $D$ les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz. On peut en conclure que, "localement", il y a exactement deux solutions de (1) passant par un point $M$ de  $D$: les deux tangentes menées de $M$ à la parabole.

Sur la parabole $(P)$ elle même, c'est un peu plus compliqué car le théorème de Cauchy-Lipsichtz ne s'applique plus à l'équation (2), car le second membre n'est pas dérivable aux points de $(P)$.

Les fonctions $\displaystyle{y \pm 2x^{1/2}}$, dont les graphes sont les deux demi-paraboles constituant $(P)$, ont en chaque point même dérivée que leur tangentes (évidemment !) et cette tangente est solution ; les fonctions $y \pm 2x^{1/2}$ sont donc elles-mêmes solutions de (1).