Mathématiques
Précédent
Suivant
Changements de variables dans les équations différentielles

Lorsqu'on cherche à résoudre une équation différentielle de la forme , mais qui n'est pas d'un des types dont on a appris à calculer les solutions, on peut essayer de se ramener à une équation connue en effectuant un changement de fonction inconnue (le mot "changement de variable" est un peu trompeur).

On pose , (soit ), où une fonction dérivable ; la dérivation des fonctions composées donne .

En remplaçant dans l'équation initiale, on trouve une équation contenant , et  :

c'est-à-dire une équation différentielle en la fonction inconnue . Si ne s'annule pas, on obtient l'équation

Si on a bien choisi la fonction on peut parfois obtenir une équation en qu'on sait résoudre. Si est une solution de cette dernière équation, la fonction est solution de l'équation initiale.

Il n'y a pas de méthode générale pour trouver une telle fonction  , on ne peut que donner quelques exemples.

Exemple : Exemple 1

Cherchons à résoudre l'équation, définie pour ,

(1)

Cette équation n'est pas très agréable à résoudre en tant qu'équation autonome. Mais puisque les fonctions cherchées doivent être à valeurs positives, on peut poser . On a alors , et . On peut donc écrire , soit encore .

Les solutions de cette dernière équation sont .

En remplaçant par , on trouve que les solutions de (1) sont les fonctions . On vérifie qu'elles sont bien à valeurs positives.

Exemple : Exemple 2 :

Revenons à l'exemple (voir introduction) d'une population de punaises d'eau vivant en une colonie en forme de disque. On suppose que le taux de croissance naturelle est égal à un réel , mais que les punaises vivant à la périphérie ont un taux de mortalité supplémentaire (dû par exemple au froid).

Si est la population à l'instant , l'effectif de celles vivant à la périphérie est proportionnel à . Cela nous conduit à une équation différentielle du type

(1)

La fonction est solution (population toujours nulle) ; la fonction constante est aussi solution.Cherchons les autres.

L'équation (1) est autonome, mais pas facile à résoudre telle quelle. Mais, puisque la fonction que nous cherchons est à valeurs positives et que c'est qui nous ennuie, on peut essayer de poser

,

d'où (avec ), et donc .

En remplaçant dans (1), on trouve . On en cherche les solutions positives, qui vérifient donc

(2)

Celle là est facile à résoudre, car elle est linéaire.

La solution générale de l'équation homogène est , et la fonction constante est une solution particulière. La solution générale de (2) est donc .

Si , est toujours positif, donc est solution de (1) pour tout réel.

Si est négatif, ce n'est que sur l'intervalle où est positif, c'est-à-dire sur (avec ) que la fonction est solution de (1). Mais si l'on prolonge cette fonction en posant si , reste une solution de (1). Finalement, les solutions de (1) sont :

avec ,

si , si avec .

Les fonctions constantes et .

Si l'effectif de départ est supérieur à , la population croîtra indéfiniment; si il est inférieur à , la population s'éteindra en un temps fini . Si il vaut exactement , la population restera constante.

Remarque

La fonction constante est une solution de (1) ; le fait que certaines solutions s'annulent en un temps fini, et rejoignent donc la solution nulle, ne contredit pas le théorème d'unicité de Cauchy-Lipschitz, car la fonction n'est pas dérivable en .

La figure ci-dessous montre les solutions de (1). On voit sur ce dessin que l'équilibre , est instable.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)