Résolution explicite

Cherchons à résoudre l'équation, définie pour $y > 0$,

$\displaystyle{y' = y \textrm{ln}(y)}$ (1)

Cette équation n'est pas très agréable à résoudre en tant qu'équation autonome. Mais puisque les fonctions cherchées doivent être à valeurs positives, on peut poser $\displaystyle{y(x) = \textrm{e}^{z(x)}}$. On a alors$\displaystyle{\textrm{ln}(y) = z}$, et $y' = \textrm{e}^{z} z$. On peut donc écrire $\displaystyle{\textrm{e}^{z} z' = \textrm{e}^{z} z}$, soit encore $z' = z$.

Les solutions de cette dernière équation sont $\displaystyle{z = A \textrm{e}^x}$.

En remplaçant $y$ par $\displaystyle{\textrm{e}^z}$, on trouve que les solutions de (1) sont les fonctions $\displaystyle{u(x) = \textrm{exp}(A \textrm{e}^x)}$. On vérifie qu'elles sont bien à valeurs positives.

Revenons à l'exemple (voir introduction) d'une population de punaises d'eau vivant en une colonie en forme de disque. On suppose que le taux de croissance naturelle est égal à un réel $a > 0$, mais que les punaises vivant à la périphérie ont un taux de mortalité supplémentaire (dû par exemple au froid).

Si $y(t)$ est la population à l'instant $t$, l'effectif de celles vivant à la périphérie est proportionnel à $y(t)^{1/2}$. Cela nous conduit à une équation différentielle du type

$\displaystyle{y' = a y - b y^{1/2}}$ (1)

La fonction $y = 0$ est solution (population toujours nulle) ; la fonction constante $\displaystyle{y = (b/a)^2}$ est aussi solution.Cherchons les autres.

L'équation (1) est autonome, mais pas facile à résoudre telle quelle. Mais, puisque la fonction $y(t)$ que nous cherchons est à valeurs positives et que c'est $y^{1/2}$ qui nous ennuie, on peut essayer de poser

$\displaystyle{z = y^{1/2}}$,

d'où $y(t) = z(t)^2$ (avec $z > 0$), et donc $y' = 2 zz'$.

En remplaçant dans (1), on trouve $\displaystyle{2 zz' = a z^2 - b z}$. On en cherche les solutions positives, qui vérifient donc

$\displaystyle{z' = (a/2)z - b/2}$ (2)

Celle là est facile à résoudre, car elle est linéaire.

La solution générale de l'équation homogène est $\displaystyle{v(t) = C \textrm{e}^{ (a/2)t}}$, et la fonction constante $v = b/a$ est une solution particulière. La solution générale de (2) est donc $\displaystyle{v(t) = C \textrm{e}^{(a/2)t} + b/a}$.

Si $C > 0$, $v(t)$ est toujours positif, donc $v^2 (t)$ est solution de (1) pour tout $t$ réel.

Si $C$ est négatif, ce n'est que sur l'intervalle où $v(t)$ est positif, c'est-à-dire sur $]- \infty , t_C[$ (avec $\displaystyle{t_C = (2/a) \textrm{ln} (- b/a C)}$) que la fonction $u = v^2$ est solution de (1). Mais si l'on prolonge cette fonction $u$ en posant $u(t) = 0$ si $t \ge q t_C$ , $u(t)$ reste une solution de (1). Finalement, les solutions de (1) sont :

$\displaystyle{u(t) = (C \textrm{e}^{ (a/2)t} + b/a)^ 2}$ avec $C > 0$,

$\displaystyle{u(t) = (C \textrm{e}^{(a/2)t} + b/a)^2}$ si $t < t_C$, $u(t) = 0$si $t \ge q t_C$ avec $C < 0$ .

Les fonctions constantes $u(t) = 0$ et $u(t) = (b/a) ^2$.

Si l'effectif de départ est supérieur à $(b/a)^2$, la population croîtra indéfiniment; si il est inférieur à $(b/a)^2$, la population s'éteindra en un temps fini $\displaystyle{t_C = (2/a) \textrm{ln} (- b/{aC})}$. Si il vaut exactement $(b/a)^2$, la population restera constante.