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Equations linéaires du premier ordre à coefficients constants

Une équation différentielle du premier ordre linéaire à coefficient constant est une équation de la forme

c'est le coefficient de qui est constant.

L'équation homogène

Ce type d'équation est souvent appelé un peu abusivement équation sans second membre.

La fonction nulle est une solution. Les autres s'obtiennent en écrivant et en prenant une primitive de chaque membre ; on obtient

est une constante arbitraire. Pour chaque valeur de , cela donne deux solutions, l'une toujours positive , l'autre toujours négative .

On retrouve toutes ces solutions, y compris la solution nulle , en disant que la solution générale de est

est une constante arbitraire. Remarquons que est la valeur de la solution en ; on écrit donc souvent

.

Quelques-unes de ces solutions sont représentées ci-dessous.

Sur ce graphique, cliquez sur les boutons pour changer la valeur du paramètre .

Remarquez en particulier ce qui se passe quand change de signe.

Complément

On rappelle que, si et sont deux solutions distinctes, alors pour tout , est différent de .

Les solutions autres que ne s'annulent donc jamais.

Complément

Si on a la solution nulle,

si il peut s'écrire

et si il peut s'écrire

pour un certain réel .

L'équation linéaire à coefficient constant avec second membre
Méthode générale pour trouver une solution particulière
Comment deviner une solution particulière de y' = ay + b(x) ?
Equations linéaires à coefficients variables
L'équation linéaire à coefficient variable avec second membre
Méthode générale pour trouver une solution particulière
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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