Courbes de niveau et équations différentielles exactes

Courbes de niveau

Soit \(F(x, y)\) une fonction de deux variables réelles, à valeurs réelles, ayant des dérivées partielles continues.

On peut se représenter la fonction \(F\) comme un relief sur \(\mathbb R^2\), le point de coordonnées \((x, y)\) ayant comme altitude \(F(x, y)\). Une courbe de niveau de \(F\) est un sous-ensemble

\(\displaystyle{N_C = \{(x, y) ; F(x, y) = C\}}\).

\(C\) est un réel donné ; sur le relief, \(NC\) est l'ensemble des points ayant la même altitude \(C\).

Si la courbe de niveau \(NC\) n'est pas vide, c'est en général une réunion de graphes de fonctions réelles \(y = u(x)\). Nous allons voir que, "grosso-modo", toutes les courbes de niveau sont réunion de graphes des solutions d'une même équation différentielle, attachée à la fonction \(F\).

Equation différentielle des courbes de niveau

Si une portion d'une courbe de niveau \(NC\) est le graphe d'une fonction dérivable \(u(x)\) définie sur un intervalle \(I\) on a, pour tout \(x\) de \(I\), \(F(x, u(x)) = C\).

La dérivée de la fonction \(G(x) = F(x, u(x))\) est donc nulle.

On sait calculer  \(G'(x)\):

\(\displaystyle{G'(x) = \delta F/\delta x(x,u(x)) + u'(x) \delta F/\delta y(x, u(x))}\)

Comme \(G'(x) = 0\) , on a \(\displaystyle{\delta F/ \delta x (x, u(x)) + u'(x) \delta F/\delta y(x, u(x)) = 0}\)

Posons donc \(\displaystyle{H(x,y) = \delta F/ \delta x(x,y)}\), et \(\displaystyle{J(x,y) =\delta F/ \delta y(x,y)}\). La fonction \(y=u(x)\) vérifie donc l'equation \(\displaystyle{J(x,y)y'+H(x,y)=0}\).

Sur l'ensemble des point \((x, y)\)\(J(x, y)\) est différent de \(0\), \(u\) est donc solution de l'équation différentielle \(\displaystyle{y' = - H(x, y)/J(x, y)}\).

Définition et résolution d'une équation différentielle exacte

Inversement, devant une équation donnée sous la forme \(\displaystyle{J(x, y) y' + H(x, y) = 0}\), on peut se demander s'il existe une fonction \(F(x, y)\) telle que

\(\displaystyle{H(x, y) = \delta F / \delta x (x, y)}\) et \(\displaystyle{J(x,y) = \delta F / \delta y (x, y)}\)

D'après l'égalité des dérivées croisées \(\displaystyle{(\delta^2F/ {\delta x \delta y} = \delta^2 F / {\delta y \delta x})}\) , il est nécessaire que l'on ait \(\displaystyle{\delta H/\delta y = \delta J/ \delta x}\) . Si c'est le cas, on dit que l'équation différentielle est exacte.

On peut montrer que cette condition est aussi suffisante pour que \(F\) existe.

Si l'on sait trouver la fonction \(F\) les solutions sont définies implicitement par \(F(x, y) = C\); on les trouve explicitement en résolvant l'équation \(F(x, y) = C\) par rapport à \(y\).

Nous verrons à la page suivante comment trouver la fonction \(F\).

Résolution d'une équation différentielle exacte

Pour résoudre une équation différentielle exacte \(\displaystyle{J(x, y)y' + H(x, y)}\) où les fonctions \(J\) et \(H\) vérifient la condition \(\displaystyle{\delta H / \delta y = \delta J / \delta x}\), , on a vu qu'il convient de chercher une fonction \(F(x, y)\) telle que \(\delta F / \delta y = J\).Les graphes des solutions de l'équations seront inclus dans les courbes de niveau de la fonction \(F\).

Méthode pour trouver une telle fonction F

\(H(x, y)\) et \(J(x, y)\) étant données, et vérifiant la condition \(\displaystyle{\delta H / \delta y = \delta J / \delta x}\), on cherche \(F\) comme primitive de \(H\) par rapport à \(x\), que l'on écrit \(A(x, y) + K(y)\) (la "constante d'intégration" est bien constante par rapport à \(x\), mais peut dépendre de  \(y\)!). Ensuite, la relation \(\displaystyle{\delta / \delta y (A(x,y) + K(y)) = J(x,y)}\) , nous donne la fonction \(K'(y)\). On en déduit \(K(y)\), à une "vraie" constante près, d'où finalement les fonctions \(F(x, y)\).

Exemple

Cherchons les fonction \(F\)associée à l'équation \(\displaystyle{(x - y)y' + y - 2x = 0}\).

En posant \(\displaystyle{J(x, y) = x - y}\) et \(\displaystyle{H(x, y) = y - 2x}\), on vérifie que \(\displaystyle{\delta H / \delta y = \delta J / \delta x = 1}\).

Intégrons \(H = y - 2 x\) par rapport à  \(x\): on trouve \(\displaystyle{F(x, y) = yx - x^2 + K(y)}\).

En écrivant que \(\displaystyle{\delta F/ \delta y (x, y) = x - y}\) , on trouve \(\displaystyle{x + K'(y) = x - y}\), donc \(\displaystyle{K(y) = - y^2/2 + C}\).

On a finalement \(\displaystyle{F(x, y) = xy - x^2 - y^2/2 + C}\), et les lignes de niveau de \(F\) sont des ellipses.

L'équation différentielle résolue en \(y'\) associée \(\displaystyle{y' = (2x - y)/(x - y)}\) n'est pas définie sur la droite \(y = x\). Ses solutions ont pour graphes des demi ellipses limitées par des points de la droite \(y = x\) . Chaque courbe de niveau de \(F\) fournit deux solutions de l'équation.

Sur la figure ci-dessous, cliquez pour obtenir des solutions . La droite \(y = x\) est figurée en jaune.

Solutions de l'équation différentielle y'=(2x-y)/(x-y)