Résolution explicite

Soit \(F(x, y)\) une fonction de deux variables réelles, à valeurs réelles, ayant des dérivées partielles continues.

On peut se représenter la fonction \(F\) comme un relief sur \(\mathbb R^2\), le point de coordonnées \((x, y)\) ayant comme altitude \(F(x, y)\). Une courbe de niveau de \(F\) est un sous-ensemble

\(\displaystyle{N_C = \{(x, y) ; F(x, y) = C\}}\).

où \(C\) est un réel donné ; sur le relief, \(NC\) est l'ensemble des points ayant la même altitude \(C\).

Si la courbe de niveau \(NC\) n'est pas vide, c'est en général une réunion de graphes de fonctions réelles \(y = u(x)\). Nous allons voir que, "grosso-modo", toutes les courbes de niveau sont réunion de graphes des solutions d'une même équation différentielle, attachée à la fonction \(F\).

Si une portion d'une courbe de niveau \(NC\) est le graphe d'une fonction dérivable \(u(x)\) définie sur un intervalle \(I\) on a, pour tout \(x\) de \(I\), \(F(x, u(x)) = C\).

La dérivée de la fonction \(G(x) = F(x, u(x))\) est donc nulle.

On sait calculer  \(G'(x)\):

\(\displaystyle{G'(x) = \delta F/\delta x(x,u(x)) + u'(x) \delta F/\delta y(x, u(x))}\)

Comme \(G'(x) = 0\) , on a \(\displaystyle{\delta F/ \delta x (x, u(x)) + u'(x) \delta F/\delta y(x, u(x)) = 0}\)

Posons donc \(\displaystyle{H(x,y) = \delta F/ \delta x(x,y)}\), et \(\displaystyle{J(x,y) =\delta F/ \delta y(x,y)}\). La fonction \(y=u(x)\) vérifie donc l'equation \(\displaystyle{J(x,y)y'+H(x,y)=0}\).

Sur l'ensemble des point \((x, y)\) où \(J(x, y)\) est différent de \(0\), \(u\) est donc solution de l'équation différentielle \(\displaystyle{y' = - H(x, y)/J(x, y)}\).

Inversement, devant une équation donnée sous la forme \(\displaystyle{J(x, y) y' + H(x, y) = 0}\), on peut se demander s'il existe une fonction \(F(x, y)\) telle que

\(\displaystyle{H(x, y) = \delta F / \delta x (x, y)}\) et \(\displaystyle{J(x,y) = \delta F / \delta y (x, y)}\)

D'après l'égalité des dérivées croisées \(\displaystyle{(\delta^2F/ {\delta x \delta y} = \delta^2 F / {\delta y \delta x})}\) , il est nécessaire que l'on ait \(\displaystyle{\delta H/\delta y = \delta J/ \delta x}\) . Si c'est le cas, on dit que l'équation différentielle est exacte.

On peut montrer que cette condition est aussi suffisante pour que \(F\) existe.

Si l'on sait trouver la fonction \(F\) les solutions sont définies implicitement par \(F(x, y) = C\); on les trouve explicitement en résolvant l'équation \(F(x, y) = C\) par rapport à \(y\).

Nous verrons à la page suivante comment trouver la fonction \(F\).

Pour résoudre une équation différentielle exacte \(\displaystyle{J(x, y)y' + H(x, y)}\) où les fonctions \(J\) et \(H\) vérifient la condition \(\displaystyle{\delta H / \delta y = \delta J / \delta x}\), , on a vu qu'il convient de chercher une fonction \(F(x, y)\) telle que \(\delta F / \delta y = J\).Les graphes des solutions de l'équations seront inclus dans les courbes de niveau de la fonction \(F\).

\(H(x, y)\) et \(J(x, y)\) étant données, et vérifiant la condition \(\displaystyle{\delta H / \delta y = \delta J / \delta x}\), on cherche \(F\) comme primitive de \(H\) par rapport à \(x\), que l'on écrit \(A(x, y) + K(y)\) (la "constante d'intégration" est bien constante par rapport à \(x\), mais peut dépendre de  \(y\)!). Ensuite, la relation \(\displaystyle{\delta / \delta y (A(x,y) + K(y)) = J(x,y)}\) , nous donne la fonction \(K'(y)\). On en déduit \(K(y)\), à une "vraie" constante près, d'où finalement les fonctions \(F(x, y)\).