Rang d'une application linéaire
Proposition

Soient et deux espaces vectoriels sur un même corps et une application linéaire de dans . On suppose l'espace vectoriel de type fini.

Alors, l'image de est un espace vectoriel de type fini. Plus précisément, si est la dimension de et une base de , est une famille de générateurs de .

Preuve

Il suffit de démontrer que tout élément de est combinaison linéaire des vecteurs .

Soit un élément quelconque de .

Il existe donc un élément de tel que . Comme est une base de , il existe des scalaires tels que . Alors comme est une application linéaire, , ce qui achève la démonstration.

Définition : Définition du rang d'une application linéaire

Soient et deux espaces vectoriels sur un même corps  et une application linéaire de dans . On suppose l'espace vectoriel de type fini.

La dimension de l'espace vectoriel est appelé le rang de et notée .

Trois remarques concernant la notion de rang d'une application linéaire peuvent être faites :

Remarque : Remarque 1

D'après la deuxième partie de la proposition précédente, la dimension de est le rang du système de vecteurs ce qui explique à postériori la dénomination rang de l'application linéaire .

Remarque : Remarque 2

Cela donne aussi une méthode pratique pour déterminer une base et la dimension de l'image d'une application linéaire dont l'espace de départ est de type fini.

On détermine les vecteurs et on utilise les techniques de détermination du rang d'une famille finie de vecteurs.

Remarque : Remarque 3

Il en résulte que le rang d'une application linéaire est inférieur ou égal à la dimension de l'espace vectoriel de départ.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)