Rang d'une application linéaire
Proposition :
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels sur un même corps \(\mathbf K\) et \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\). On suppose l'espace vectoriel \(E\) de type fini.
Alors, l'image de \(f\) est un espace vectoriel de type fini. Plus précisément, si \(n\) est la dimension de \(E\) et \((e_1, e_2, ... , e_n)\) une base de \(E\), \(f(e_1), f(e_2), ..., f(e_n)\) est une famille de générateurs de \(\mathrm{Im}(f)\).
Preuve :
Il suffit de démontrer que tout élément de \(\mathrm{Im}(f)\) est combinaison linéaire des vecteurs \(f(e_1), f(e_2), ..., f(e_n)\).
Soit \(y\) un élément quelconque de \(\mathrm{Im}(f)\).
Il existe donc un élément \(x\) de \(E\) tel que \(y = f(x)\). Comme \((e_1, e_2, ..., e_n)\) est une base de \(E\), il existe des scalaires \(x_1, x_2, ..., x_n\) tels que \(\displaystyle{ x =\sum_{i=1}^{i = n} x_i e_i} \). Alors comme \(f\) est une application linéaire, \(\displaystyle{ f(x) = \sum_{i=1}^{i = n} x_i f(e_i)}\), ce qui achève la démonstration.
Définition : Définition du rang d'une application linéaire
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels sur un même corps \(\mathbf K\) et \(f\) une application linéaire de \(E\) dans\( F\). On suppose l'espace vectoriel \(E\) de type fini.
La dimension de l'espace vectoriel \(\mathrm{Im}(f)\) est appelé le rang de \(f\) et notée \(\mathrm{rang}(f)\).
Trois remarques concernant la notion de rang d'une application linéaire peuvent être faites :
Remarque : Remarque 1
D'après la deuxième partie de la proposition précédente, la dimension de \(\mathrm{Im}(f)\) est le rang du système de vecteurs \(\{ f(e_1), f(e_2), ..., f(e_n)\}\) ce qui explique à postériori la dénomination rang de l'application linéaire \(f\).
Remarque : Remarque 2
Cela donne aussi une méthode pratique pour déterminer une base et la dimension de l'image d'une application linéaire dont l'espace de départ est de type fini.
On détermine les vecteurs \(f(e_1), f(e_2), ..., f(e_n)\) et on utilise les techniques de détermination du rang d'une famille finie de vecteurs.
Remarque : Remarque 3
Il en résulte que le rang d'une application linéaire est inférieur ou égal à la dimension de l'espace vectoriel de départ.
\(0 \le \mathrm{rang}(f) \le \mathrm{dim} E\)