Application linéaire entre deux espaces de même dimension
Théorème

Soient et deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps . On suppose qu'ils ont même dimension.

Soit une application linéaire de dans .

Alors est injective si et seulement si elle est surjective et donc si et seulement si elle est bijective ce qui se traduit par

Autrement dit, dans le cas d'une application linéaire entre deux espaces de même dimension, il suffit pour démontrer qu'elle est bijective, de démontre l'une des deux propriétés injectivité ou surjectivité.

Preuve

Cela est immédiat à partir du théorème du rang et du corollaire précédent. En effet la propriété injective équivaut, d'après le théorème du rang, à : ,

et donc d'après l'hypothèse sur l'égalité des dimensions de et de , à .

Ceci équivaut à la propriété : surjective.

Cela achève la démonstration.

Légende :
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