Injectivité, surjectivité, bijectivité
Théorème

Soient et deux espaces vectoriels sur un même corps . On suppose l'espace vectoriel de type fini et soit n sa dimension. Soit une base de et une application linéaire de dans . Alors

Chacune des propriétés intervenant dans cet énoncé est une condition nécessaire et suffisante ; la preuve des deux premières sera donc décomposée en deux parties, la troisième s'en déduisant immédiatement.

Preuve : Preuve du 1
  • est injective est une famille libre de .

    Soient des scalaires tels que .

    Comme est linéaire, ceci équivaut à l'égalité : implique que

    .

    Or étant une base de , est une partie libre, et tous les scalaires sont nuls.

  • est une famille libre de est injective .

    Montrer que est injective équivaut à démontrer que le noyau de est réduit à .

    Soit donc un élément du noyau de . Comme est une base de , il existe des scalaires uniques, tels que . L'égalité entraîne donc (comme est linéaire) l'égalité .

    L'hypothèse famille libre de permet d'affirmer que tous les scalaires sont nuls, donc que est nul.

Preuve : Preuve du 2
  • est surjective engendre

    L'hypothèse surjective signifie que .

    Or on a vu dans la proposition que si est une base de ,

    est une famille de générateurs de .

    Donc engendre .

  • engendre est surjective .

    L'image de est incluse dans et est inclus dans l'image de ,

    puisque engendre , donc .

Preuve : Preuve du 3
  • est un isomorphisme de sur est une base de .

    Cette équivalence résulte immédiatement des points et .

Conséquence immédiate dans le cas où F est aussi de type finie
  • Le rang de est inférieur ou égal à la dimension de , l'égalité ne pouvant avoir lieu que si est surjective.

  • Une condition nécessaire pour qu'il existe une application linéaire surjective de dans est que la dimension de soit supérieure ou égale à celle de .

  • Une condition nécessaire pour qu'il existe une application linéaire injective de dans est que la dimension de soit inférieure ou égale à celle de .

Corollaire : Corollaire 1

Soient et deux espace vectoriels sur un même corps , de type fini. On suppose qu'il existe un isomorphisme de dans .

Alors est de type fini et .

Ce résultat est immédiat si . Il découle immédiatement du théorème précédent si est de dimension finie avec .

Corollaire : Corollaire 2

Soient et deux espaces vectoriels de type fini tels que . Alors et sont isomorphes. En particulier, tout vectoriel de dimension avec est isomorphe à muni de sa structure usuelle.

Preuve
  • Si le résultat est immédiat.

  • Si , , soit une base de , et une base de .

    Soit l'application linéaire de dans définie par (l'existence et l'unicité d'une application satisfaisant aux conditions imposées sont justifiées par le théorème donnant la caractérisation d'une application linéaire d'un espace de type fini dans un espace quelconque).

Comme l'image d'une base de est une base de est un isomorphisme d'après le point du théorème précédent.

En particulier comme est un espace de dimension , tout vectoriel de dimension est isomorphe à .

Complément : Caractérisation d'une application linéaire définie sur un espace vectoriel de type fini

Une application linéaire d'un espace vectoriel de type fini dans un espace vectoriel quelconque est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base de l'espace vectoriel de départ.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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