Théorème du rang

De tous ces résultats, on va déduire le théorème dit " Théorème du rang " qui est un résultat tout à fait fondamental dans la théorie des applications linéaires en dimension finie.

On se place toujours dans la même situation : et sont deux espaces vectoriels sur un même corps . L'espace vectoriel est supposé de type fini et est une application linéaire de dans .

  • Il résulte des propriétés générales des applications linéaires que le noyau et l'image d'une application linéaire sont des sous-espaces vectoriels respectivement de l'espace de départ et de l'espace d'arrivée.

  • Il résulte des propriétés des sous espaces d'un espace de type fini que le noyau d'une application linéaire d'un espace vectoriel de type fini dans un espace quelconque est de type fini.

  • Enfin, il résulte de la proposition vue au début de ce cours que l'image d'une application linéaire d'un espace vectoriel de type fini dans un espace quelconque est de type fini.

L'objet du théorème du rang est de donner une relation entre la dimension du noyau et la dimension de l'image de .

Théorème : Théorème du rang

Soient et deux espaces vectoriels sur un même corps , de type fini. Soit une application linéaire de dans . Alors

Dans la pratique, il suffit donc de déterminer la dimension du noyau ou celle de l'image d'une application linéaire pour avoir les deux dimensions.

Preuve
  • Si f est injective, en désignant par une base de , il résulte du premier résultat du théorème que la partie à éléments est une famille libre de donc une famille libre de ; comme c'est une partie génératrice de est une base de .

    La dimension de est donc égale à qui est la dimension de .

  • Si f n'est pas injective, le noyau de est un sous espace de de dimension avec .

    Soit une base de .

    D'après le théorème de la base incomplète, il existe vecteurs de tels que soit une base de .

    Alors est engendrée par les vecteurs .

    Mais comme est engendrée par les vecteurs

    .

    Or ces vecteurs sont linéairement indépendants :

    soient des scalaires tels que .

    Puisque est linéaire cette égalité équivaut à l'égalité qui prouve que le vecteur appartient au noyau de . Donc il existe des scalaires tels que Comme sont linéairement indépendants et par conséquent :

    et

    Les vecteurs définissent donc une base de ,

    de dimension .

    Ceci achève la démonstration.

    On remarquera le rôle essentiel joué par le théorème de la base incomplète dans cette démonstration.

Théorème : Théorème de la "base incomplète"

Soit un vectoriel de type fini, non réduit à .

Soit une partie génératrice finie de et une partie libre de . Alors il existe une partie de telle que, en notant la partie soit une base de .

Corollaire

Soient et deux espaces vectoriels sur un même corps de type fini. Soit une application linéaire de dans . Alors est injective si et seulement si le rang de est égal à la dimension de .

Cela est immédiat car on a la suite de propriétés équivalentes :

Le paragraphe suivant traite le cas particulier où les deux espaces vectoriels sont de même dimension. Précédent

Légende :
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