Expression explicite d'une forme bilinéaire sur un espace de type fini

Soit un espace vectoriel de type fini, et sa dimension. Soit une base de et une forme bilinéaire sur

Soient et deux éléments de que l'on peut écrire de manière unique sous la forme et

Alors

En utilisant la bilinéarité de il vient :

Pour mieux comprendre la construction de cette formule, on peut détailler ce calcul pour

Complément : Calcul dans le cas d'un espace de dimension 3

Soit un espace vectoriel de dimension 3. Soit une base de

Soit une forme bilinéaire symétrique sur

Soient et deux éléments de que l'on peut écrire de manière unique sous la forme et

Alors

En utilisant la linéarité par rapport à la première variable, on obtient

En utilisant, pour chaque terme de la somme qui est au second membre, la linéarité par rapport à la seconde variable on obtient

Ci-joint une version animée de ces transformations

La forme bilinéaire est donc entièrement définie par les scalaires

Réciproquement il est facile de vérifier que toute application de dans de la forme est une forme bilinéaire (les notations sont celles indiquées ci-dessus).

Cela permet donc d'énoncer la caractérisation, très utile dans la pratique :

Proposition : Caractérisation d'une forme bilinéaire sur un espace de type fini

Soit un espace vectoriel de type fini, et sa dimension. Soit une base de

Une application de dans est une forme bilinéaire sur si et seulement si il existe des scalaires tels que pour tout

et tout , s'écrive de la manière suivante :

Cette propriété peut être interprétée différemment, de manière à obtenir une propriété globale de l'espace vectoriel

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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