Matrice associée à une forme bilinéaire
Théorème : Matrice associée à une forme bilinéaire dans une base

Soit un espace vectoriel de type fini, sa dimension et une base de

Soit une forme bilinéaire sur La matrice associée à dans la base est la matrice à lignes et colonnes dont le terme de la ligne et colonne est avec :

Pour tout élément de , on a

L'application de dans définie par :

est un isomorphisme.

Remarque

bien observer la cohérence de l'ordre des indices sur la formule

Attention

cet isomorphisme n'est pas canonique car il dépend de la base choisie sur par l'intermédiaire des formes bilinéaires

Exemple

Reprenons encore l'exemple déjà étudié :

et la forme bilinéaire sur définie pour tout et de par :

On a déjà vu qu'elle n'est ni symétrique ni antisymétrique.

Il s'agit de déterminer la matrice associée à dans la base canonique, soit L'élément de la première ligne première colonne de est le coefficient de dans l'expression explicite de il est donc égal à 1. De même l'élément de la première ligne deuxième colonne de est le coefficient de donc égal à 2. L'élément de la deuxième ligne première colonne de est le coefficient de donc égal à -2. Enfin, l'élément de la deuxième ligne deuxième colonne de est le coefficient de donc égal à -1.

Ci-après une version animée de cette étape

La matrice associée à dans la base canonique est donc

Légende :
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S'évaluer
S'exercer
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