Base et dimension de B(E)
Introduisons, pour tout couple \((i,j)\) avec \(1 \le i \le n, 1 \le j \le n,\) la forme bilinéaires \(B_{i,j}\) définie par \(B_{i,j}(x,y) = x_{i}y_{j}.\) Alors la formule qui vient d'être trouvée permet d'écrire : \(f=\displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}f(e_{i},e_{j})B_{ij}}\)
Cela prouve que les formes bilinéaires \(B_{i,j}\) engendrent \(B(E).\)
Or il résulte de la définition des formes bilinéaires \(B_{i,j}\) que :
\(B_{i,j}(e_{k},e_{l}) = 1 \quad \textrm{si} \quad (k,l) = (i,j)\)
\(B_{i,j}(e_{k},e_{l}) = 0 \quad \textrm{si} \quad (k,l) \ne (i,j)\)
Cela implique que les formes bilinéaires \(B_{i,j}\) sont linéairement indépendantes.
Preuve : Preuve de l'indépendance linéaire des formes bilinéaires Bi,j
Soient \(n^{2}\) scalaires \(\alpha_{i,j}\) tels que \(\displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}\alpha_{i,j}B_{ij} = 0}.\)
Alors pour tout couple \((K,l)\) avec \(1\le k \le n\) , \(1 \le l \le n\) , il vient \(\displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}\alpha_{i,j}B_{ij}(e_{k},e_{l}) = 0}.\)
D'après les relations précédentes, cela donne : \(\displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}\alpha_{i,j}B_{ij}(e_{k},e_{l}) = 0 = \alpha_{k,l}}.\)
D'où le résultat.
Ces résultats permettent d'énoncer le théorème :
Théorème : Dimension de B(E)
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini, \(n\) sa dimension et \(B\) une base de \(E.\)
L'espace vectoriel \(B(E)\)est un espace de type fini et sa dimension est égale à \(n^{2}.\)
Plus précisément, les formes bilinéaires \(B_{i,j}\) définies pour tout couple \((x,y)\) élément de \(E \times E\) par \(B_{i,j}(x,y) = x_{i}y_{j}\) où \(x_{i}\) et \(y_{j}\) sont les coordonnées respectivement de \(x\) et \(y\) dans \(B\) déterminent une base de \(B(E).\)
La forme bilinéaire \(f\) est donc entièrement déterminée par les \(n^{2}\) scalaires \(f(e_{i},e_{j}).\) Cela nous conduit à la définition de la matrice associée à une forme bilinéaire dans une base (page suivante).