Expression matricielle d'une forme bilinéaire

L'introduction de matrice associée à une forme bilinéaire permet d'écrire le scalaire comme un produit de matrices.

La convention suivante est utilisée : la matrice scalaire est identifiée au scalaire .

Soit un espace vectoriel de type fini, sa dimension, une base de et une forme bilinéaire sur

On a trouvé la formule :

Soit la matrice associée à dans la base C'est donc la matrice de de terme général Soient et les matrices colonnes dont les éléments sont respectivement les coordonnées de et dans la base :

Alors, en notant il vient :

En notant , cela donne : ( en utilisant la convention d'identification indiquée ci-dessus).

La matrice ligne est égale à . Comment interpréter la matrice colonne ?

Le scalaire peut être interprété comme le produit

Donc et au bilan

D'où le résultat.

Proposition : Expression matricielle d'une forme bilinéaire

Soit un espace vectoriel de type fini, sa dimension, une base de et une forme bilinéaire sur Soit la matrice associée à dans la base

Si et sont des éléments quelconques de et les matrices colonnes dont les éléments sont les coordonnées de et respectivement dans la base alors on a l'égalité :

Remarque

le calcul aurait peut-être paru plus simple si l'on avait démontré cette formule en « partant » de la droite autrement dit si l'on était parti du calcul du produit de matrices Mais cela supposait de connaître à l'avance la formule, alors que dans la démonstration proposée, on construit la formule.

Changement de base

Bien évidemment la question qui se pose est celle de l'existence d'une formule liant les matrices associées à une forme bilinéaire dans deux bases différentes.

Soient et deux bases de la matrice de passage de à

Soient et deux éléments de de matrices et dans et

respectivement. Les formules classiques de changement de base donnent les relations : ,

Alors, si est une forme bilinéaire sur on a

La formule trouvée prouve que est la matrice associée à dans la base On peut donc énoncer la formule de changement de base :

Proposition : Formule de changement de base

Soit un espace vectoriel de type fini, sa dimension, et deux bases de la matrice de passage de à

Soient une forme bilinéaire sur et les matrices associées à dans les bases à respectivement. Alors :

Attention

Ne pas confondre avec la formule de similitude qui lie les matrices associées à un endomorphisme par rapport à deux bases différentes.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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