« Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique »
Définition : « Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique ».

Soit un espace vectoriel sur ( ou ) et une forme bilinéaire symétrique sur

La « forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique » est l'application de dans qui à tout de associe c'est-à-dire :

Remarque

dans cette définition, l'expression « Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique » est considérée comme un seul mot.

Exemple

reprenons les exemples de formes bilinéaires symétriques

  1. Soit un élément de et la forme bilinéaire symétrique sur définie par

    Alors

  2. Soit et la forme bilinéaire symétrique sur dans définie par

    Alors

  3. Soit l'espace vectoriel des fonctions continues de dans et la forme bilinéaire symétrique sur définie par :

    Alors est l'application de dans définie par :

    .

Proposition : Quelques propriétés immédiates

Soit un espace vectoriel sur ( ou ), une forme bilinéaire symétrique sur et la forme quadratique associée à

i. Soit un élément quelconque de et un scalaire quelconque. Alors

ii. Pour tout appartenant à ,

Preuve

Les démonstrations sont simples

  1. Soit un élément quelconque de et un scalaire quelconque. Alors

  2. Soit appartenant à Alors en utilisant la bilinéarité de il vient :

    Comme est symétrique cela donne

    D'où le résultat.

Ces propriétés sont des conditions nécessaires pour qu'une application de dans soit la forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique donnée.

En fait, on va définir la notion de forme quadratique « tout court » naturellement à partir de la définition précédente et montrer que les conditions nécessaires ci-dessus sont aussi des conditions suffisantes.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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