Définition d'une forme quadratique
Définition : Définition d'une forme quadratique

Une application de dans est une forme quadratique sur si il existe une forme bilinéaire symétrique sur telle que, pour tout de

Evidemment c'est une définition très simple mais qui n'est pas très commode dans la pratique, même si parfois l'expression de saute aux yeux.

Le théorème suivant permet d'avoir une caractérisation des formes quadratiques plus utilisable.

Théorème : Caractérisation des formes quadratiques

Une application de dans est une forme quadratique sur si et seulement si les deux propriétés suivantes sont satisfaites :

i.

ii. L'application définie par est bilinéaire symétrique.

Si ces conditions sont satisfaites, est la forme quadratique associée à et la forme bilinéaire symétrique est souvent appelée forme polaire associée à

Il est clair que si les propriétés i) et ii) sont satisfaites, on a :

et donc est la forme quadratique associée à

Remarque

Pour démontrer qu'une application d'un espace vectoriel quelconque (c'est-à-dire non nécessairement de type fini) dans son corps de base est une forme quadratique, on a à priori deux méthodes : « deviner » une forme bilinéaire symétrique telle que ce qui n'est pas forcément évident, ou utiliser cette caractérisation. Même si cette deuxième méthode n'est basée que sur des vérifications, elle n'est pas toujours commode et conduit à des calculs parfois très compliqués.

Cependant, la propriété i) est souvent utilisée pour démontrer qu'une application n'est pas une forme quadratique.

Complément : Commentaire sur le choix fait pour la définition d'une forme quadratique

Nous avons fait le choix de définir les formes quadratiques à partir des formes bilinéaires symétriques.

On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement à partir des formes bilinéaires. La définition est alors la suivante : une application de dans est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire (quelconque) telle que pour tout de on ait . Immédiatement cette définition est suivie de la propriété : Soit une forme quadratique sur Il existe une unique forme bilinéaire symétrique telle que pour tout de on ait La forme est appelée forme polaire de Et à partir de là, c'est la forme polaire qui est utilisée et non pas la forme bilinéaire quelconque initiale. Donc le reste de l'étude est tout à fait semblable à ce qui est développé dans ce cours.

Il nous est apparu inutile d'introduire cette étape supplémentaire qui n'a aucun rôle dans la suite de l'étude.

Dans le cas d'une forme quadratique sur un espace de type fini on a une caractérisation beaucoup plus simple qui est utilisée systématiquement. C'est l'objet du paragraphe suivant.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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