Isomorphisme entre espace des formes bilinéaires symétriques et espace des formes quadratiques

Ces résultats permettent d'énoncer le théorème fondamental suivant, valable dans un espace vectoriel quelconque.

Théorème : Isomorphisme entre S2(E) et Q(E)

Soit un espace vectoriel sur Soient l'espace vectoriel des formes bilinéaires symétriques et l'ensemble des formes quadratiques sur

  1. L'ensemble a une structure d'espace vectoriel pour les opérations :

  2. L'application qui à appartenant à associe la forme quadratique est un isomorphisme entre et dont l'application réciproque associe à appartenant à la forme bilinéaire symétrique :

Cas d'un espace de type fini

Soit un espace de dimension et une base de On a vu que si est une forme quadratique, il existe des scalaires tels que pour tout et compris entre 1 et et tels que :

Notons et les formes quadratiques et La propriété équivaut à :

la propriété prouve que les formes et forment une famille génératrice de Il est immédiat de vérifier qu'elles sont linéairement indépendantes. Elles définissent donc une base de Cela prouve que est de type fini.

La base trouvée est extrêmement utile pour déterminer simplement la forme polaire associée à une forme quadratique donnée (dans l'autre sens si on connaît la forme bilinéaire symétrique, trouver la forme quadratique associée est immédiat, il suffit d'écrire

En effet, à cause de l'isomorphisme indiqué dans le théorème, si est la forme polaire associée à celle associée à et si celle associée à il vient :

et les formes bilinéaires symétriques et définissent une base de Il ne reste donc qu'à les déterminer.

En utilisant la définition, il vient

et

D'où la proposition :

Proposition : base de Q(E) et de S2(E)

Soit un espace de dimension une base de Tout élément de s'écrit de manière unique sous la forme Alors les formes quadratiques et définies par et définissent une base de Leurs images par l'isomorphisme entre et sont les formes bilinéaires symétriques et , définies par :

et

Ces formes bilinéaires symétriques et définissent une base de

Ce qui donne le corollaire pratique suivant :

Corollaire : Expression explicite de la forme polaire d'une forme quadratique

Soit un espace de dimension et une base de Si est une forme quadratique et la forme bilinéaire symétrique qui lui est associée (on dit aussi forme polaire de il existe des scalaires tels que pour tout et compris entre 1 et et tels que, pour tout ,

et tout  :

Ce résultat est constamment utilisé dans la pratique.

Exemple

Soit

Soit l'application de dans définie pour tout par

Ci-après une version animée de ces étapes

Comme est une expression polynômiale homogène de degré par rapport aux coordonnées de dans la base canonique, c'est une forme quadratique et sa forme polaire est définie pour tout et de par

La matrice associée à (ou à dans la base canonique de est :

La connaissance d'une base explicite permet de déterminer la dimension de et de

Proposition : Dimension de Q(E) et de S2(E)

Soit un espace de dimension

Alors est un espace de type fini et

Preuve : Preuve de la formule

Pour trouver la dimension de l'espace vectoriel des formes quadratiques il suffit de compter les éléments de la base trouvée donc le nombre de formes est un entier compris entre 1 et et de formes avec Il y a exactement formes et (autant que de façons de prendre deux éléments distincts et parmi éléments) formes . Comme , on a .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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