Forme quadratique sur un espace vectoriel de type fini

Soit un espace vectoriel de type fini, sa dimension, une base de et une forme bilinéaire symétrique sur Soit la matrice associée à dans la base C'est une matrice symétrique.

Si sont des éléments quelconques de et si et sont les matrices colonnes dont les éléments sont les coordonnées de et respectivement dans la base alors Il s'en déduit immédiatement que :

Si l'on développe ce produit matriciel, il vient

Introduisons la définition suivante :

Définition : Expression polynomiale homogène de degré 2

Soit une application de dans pour laquelle il existe éléments de , , tels que l'application soit définie par :

avec

On dit que est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux

Il résulte de la formule que est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de dans la base de

Réciproquement si l'on a une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de dans la base de , c'est une forme quadratique sur

En effet, soit une application de dans pour laquelle il existe éléments de tels que soit l'application définie par :

On peut écrire autrement cette expression en mettant en évidence les termes « carrés » c'est à dire de la forme et les termes « rectangles » c'est-à-dire de la forme avec Le coefficient du terme est  ; celui du terme est , enfin celui du terme est Bien évidemment on peut regrouper ces deux derniers termes, ce qui permet d'écrire :

Soient les scalaires définis pour tout couple appartenant à par

Ils vérifient en particulier les relations

Alors, il vient que

Deux façons de terminer la démonstration.

Méthode : Méthode matricielle

Cette formule peut être écrite matriciellement sous la forme :

est la matrice de terme général

La démonstration est du même type que celle faite pour trouver l'expression matricielle d'une forme bilinéaire symétrique. Voir la démonstration ci-après.

Alors si est la forme bilinéaire symétrique sur dont la matrice associée dans la base est égale à est la forme quadratique associée à

Vocabulaire :

On dit indifféremment que est la matrice associée à ou la matrice associée à dans la base

Démonstration : Démonstration de la formule (**)

Soit la matrice de de terme général Soit la matrice colonne dont les éléments sont les coordonnées de dans la base ,

Alors, il vient :

En notant , cela donne

La matrice ligne est égale à

Le scalaire peut être interprété comme le produit

Donc et au bilan (avec bien sûr la convention d'identifier un matrice à un scalaire) où est une matrice symétrique.

Méthode : Méthode utilisant la caractérisation d'une forme quadratique.

Il suffit de vérifier à partir de l'expression (les calculs à faire sont simples) que l'application vérifie les deux conditions :

i.

ii. L'application définie par est bilinéaire symétrique.

D'où la propriété suivante :

Proposition : Caractérisation d'une forme quadratique sur un espace de type fini.

Soit un espace vectoriel de type fini.

Une application de dans est une forme quadratique sur si, étant un élément quelconque de , est une expression polynômiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de sur une base de

Dans la pratique, lorsque est un espace de type fini, cela donne un procédé extrêmement commode pour reconnaître si une application de dans est une forme quadratique.

Légende :
Apprendre
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S'exercer
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Simuler
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