Définitions
Définition : Orthogonalité entre vecteurs ou entre parties

Soient un vectoriel, une forme bilinéaire symétrique sur et la forme quadratique associée à .

Deux éléments et de sont dits orthogonaux relativement à (ou à ) si .

On dit aussi que est orthogonal à relativement à (ou à ).

Deux parties non vides et de sont dites orthogonales relativement à (ou à ) si, quelque soit appartenant à et quelque soit appartenant à , et sont orthogonaux relativement à (ou à ).

Remarque
  • Le vecteur nul est toujours orthogonal relativement à (ou à ) à tout vecteur de .

  • A la place des expressions « orthogonal relativement à » ou « orthogonal relativement à », on dit aussi « orthogonal pour » ou « orthogonal pour » ou « -orthogonal » ou « -orthogonal ».

  • Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté possible, on omet quelquefois le « relativement à » ou le « pour ».

  • Dans ce qui suit, on se réfère toujours à une forme bilinéaire symétrique.

    Si c'est une forme quadratique qui est donnée, il suffira de considérer la forme bilinéaire symétrique associée à cette forme quadratique.

Exemple

Soit et la forme bilinéaire symétrique sur définie pour tout et tout de par .

Les vecteurs et sont orthogonaux relativement à .

Les vecteurs de qui sont -orthogonaux à sont les vecteurs de tels que ; ce sont les vecteurs tels que .

Définition : Définition et notation de l'orthogonal d'une partie

Soient un vectoriel, une partie non vide de , une forme bilinéaire symétrique sur et la forme quadratique associée à .

L'ensemble des vecteurs de qui sont orthogonaux pour à tous les vecteurs de est appelé l'orthogonal de pour et est noté :

.

On appelle orthogonal pour d'un vecteur de l'orthogonal pour de la partie , c'est à dire l'ensemble des vecteurs de orthogonaux à pour .

Remarque

.

Exemple
  • Dans l'exemple précédent de muni de , définie pour tout et tout de par , l'orthogonal de pour est , où et .

    L'orthogonal de pour est .

    L'orthogonal de la partie pour est :

  • Soit l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.

    On définit sur la forme bilinéaire symétrique de la façon suivante : .

    L'orthogonal du polynôme pour est l'ensemble des polynômes tels que .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)