Définitions
Définition : Orthogonalité entre vecteurs ou entre parties
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) et \(q\) la forme quadratique associée à \(f\).
Deux éléments \(x\) et \(y\) de \(E\) sont dits orthogonaux relativement à \(f\) (ou à \(q\)) si \(f(x,y)=0\).
On dit aussi que \(x\) est orthogonal à \(y\) relativement à \(f\) (ou à \(q\)).
Deux parties non vides \(A\) et \(B\) de \(E\) sont dites orthogonales relativement à \(f\) (ou à \(q\)) si, quelque soit \(x\) appartenant à \(A\) et quelque soit \(y\) appartenant à \(B\), \(x\) et \(y\) sont orthogonaux relativement à \(f\) (ou à \(q\)).
Remarque :
Le vecteur nul est toujours orthogonal relativement à \(f\) (ou à \(q\)) à tout vecteur de \(E\).
A la place des expressions « orthogonal relativement à \(f\) » ou « orthogonal relativement à \(q\) », on dit aussi « orthogonal pour \(f\) » ou « orthogonal pour \(q\) » ou « \(f\)-orthogonal » ou « \(q\)-orthogonal ».
Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté possible, on omet quelquefois le « relativement à » ou le « pour ».
Dans ce qui suit, on se réfère toujours à une forme bilinéaire symétrique.
Si c'est une forme quadratique qui est donnée, il suffira de considérer la forme bilinéaire symétrique associée à cette forme quadratique.
Exemple :
Soit \(E=\mathbf R^3\) et \(f\) la forme bilinéaire symétrique sur \(E\) définie pour tout \(x=(x_1 ,x_2,x_3)\) et tout \(y=(y_1,y_2,y_3)\) de \(E\) par \(f(x,y)=x_1y_1-x_3y_3\).
Les vecteurs \(e_1=(1,0,0)\) et \(e_2=(0,1,0)\) sont orthogonaux relativement à \(f\).
Les vecteurs de \(E\) qui sont \(f\)-orthogonaux à \(e_1\) sont les vecteurs \(y=(y_1,y_2,y_3)\) de \(E\) tels que \(f(e_1,y)=0\); ce sont les vecteurs \(y=(y_1,y_2,y_3)\) tels que \(y_1=0\).
Définition : Définition et notation de l'orthogonal d'une partie
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, \(A\) une partie non vide de \(E\), \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) et \(q\) la forme quadratique associée à \(f\).
L'ensemble des vecteurs de \(E\) qui sont orthogonaux pour \(f\) à tous les vecteurs de \(A\) est appelé l'orthogonal de \(A\) pour \(f\) et est noté \(A^\perp\):
\(A^\perp =\{x\in E / \forall y \in A, f(x,y)=0\}\).
On appelle orthogonal pour \(f\) d'un vecteur \(x\) de \(E\) l'orthogonal pour \(f\) de la partie \(\{x\}\), c'est à dire l'ensemble des vecteurs de \(E\) orthogonaux à \(x\) pour \(f\).
Remarque :
\(\{0_E\}^\perp=E\).
Exemple :
Dans l'exemple précédent de \(E=\mathbf R^3\) muni de \(f\), définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3)\) et tout \(y=(y_1,y_2,y_3)\) de \(E\) par \(f(x,y)=x_1y_1-x_3y_3\), l'orthogonal de \(e_1=(1,0,0)\) pour \(f\) est \(\{e_1\}^\perp=\{y=(0,y_2,y_3),(y_2,y_3)\in \mathbf R^2\}=\mathbf Re_2\oplus\mathbf Re_3\), où \(e_2=(0,1,0)\) et \(e_3=(0,0,1)\).
L'orthogonal de \(e_2\) pour \(f\) est \(\{e_2\}^\perp=E\).
L'orthogonal de la partie \(\{e_2,e_3\}\) pour \(f\) est :
\(\begin{array}{rcl}\{e_2,e_3\}^\perp &=&\{y=(y_1,y_2,y_3)\in E/f(e_2,y)=f(e_3,y)=0\}\\&=&\{y=(y_1,y_2,y_3)\in E/y_3=0\}\\&=&\mathbf Re_1\oplus\mathbf Re_2\end{array}\)
Soit \(E=\mathbf R[X]\) l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
On définit sur \(E\) la forme bilinéaire symétrique \(f\) de la façon suivante : \(\displaystyle{f\left(\sum_{i=0}^n a_iX^i,\sum_{j=0}^m a_jX^j\right)=\sum_{k=0}^{\min(n,m)} a_kb_k}\).
L'orthogonal du polynôme \(X\) pour \(f\) est l'ensemble des polynômes \(\displaystyle{P=\sum_{i=0}^n a_iX^i}\) tels que \(a_1=0\).