Propriétés

La notion d'orthogonalité génère des propriétés intéressantes.

Propriété : Propriétés relatives aux parties de E

Soient un vectoriel, une forme bilinéaire symétrique sur , et des parties non vides de . On note par le sous-espace vectoriel de engendré par . On a les propriétés suivantes :

  1. Si alors .

  2. est un sous-espace vectoriel de .

Bien noter le renversement de l'inclusion dans la propriété 1.

Preuve : Preuves des propriétés relatives aux parties de E
  1. Soit un vecteur appartenant à , il est donc orthogonal pour à tous les vecteurs de , et en particulier orthogonal à tous les vecteurs de . Donc appartient à .

  2. Soit une partie non vide de . Comme appartient à , est non vide.

    Pour montrer que est un sous-espace vectoriel de , il suffit de montrer qu'il est stable par combinaison linéaire :

    soient et des vecteurs appartenant à , et des éléments de , alors pour tout vecteur de on a :

    car est orthogonal à et à . Donc appartient à , et par conséquent est un sous-espace vectoriel de .

  3. D'après la propriété 1, comme est contenu dans , on a .

    Réciproquement, tout élément de est orthogonal à tout élément de donc aussi à toute combinaison linéaire d'éléments de , donc appartient à l'orthogonal de . Donc .

    On en déduit l'égalité .

Exemple

Dans l'exemple précédent, muni de la forme bilinéaire symétrique définie pour tout et tout de par , et .

Les deux parties et sont des sous-espaces vectoriels de vérifiant l'inclusion .

Un cas particulier important est le suivant :

Théorème : Orthogonal d'un sous-espace vectoriel de type fini

Soient un vectoriel et une forme bilinéaire symétrique sur .

L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs de est égal à l'orthogonal de cette famille :

si alors .

Dans la pratique, cela signifie que si l'on connaît une famille génératrice d'un sous-espace vectoriel , un vecteur de est dans si et seulement si il est orthogonal à chaque vecteur de la famille génératrice.

Dans l'exemple précédent, .

Propriété : Propriétés relatives aux sous-espaces vectoriels de E

Soient un vectoriel, une forme bilinéaire symétrique sur , , et des sous-espaces vectoriels de . On a les propriétés suivantes :

Preuve : Preuves des propriétés relatives aux sous-espaces vectoriels de E
  1. Soit appartenant à . Pour tout appartenant à , on a . Cela signifie que est orthogonal à tout vecteur de , donc appartient à . Cela prouve l'inclusion .

  2. On montre l'égalité :

    et , donc, d'après la propriété 1 relative aux parties de , et , d'où .

    Réciproquement, soit appartenant à , donc est orthogonal à tout élément de et à tout élément de , donc aussi à la somme d'un élément de et d'un élément de car , par conséquent appartient à .

    Donc .

    D'où l'égalité .

  3. On montre :

    et , donc et .

    Par conséquent, comme est le plus petit sous-espace vectoriel de contenant et , et comme est un sous-espace vectoriel de , on en déduit : .

Remarque

Les inclusions et peuvent être strictes comme le montre l'exemple suivant :

Exemple

Soit muni de la forme bilinéaire symétrique définie pour tout et tout de par . On a remarqué précédemment que l'orthogonal de est , et que l'orthogonal du sous-espace vectoriel est .

Dans cet exemple et cette inclusion est stricte.

Soient et , alors , donc .

On a vu que . On détermine et : , donc , donc .

Là aussi l'inclusion est stricte.

Mais on peut aussi avoir des égalités : par exemple, l'orthogonal de est et l'orthogonal de est :

Ici on a l'égalité .

Légende :
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