Propriétés

La notion d'orthogonalité génère des propriétés intéressantes.

PropriétéPropriétés relatives aux parties de E

Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\), \(A\) et \(B\) des parties non vides de \(E\). On note par \(Vect(A)\)le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par \(A\). On a les propriétés suivantes :

  1. Si \(A\subset B\) alors \(B^\perp \subset A^\perp\).

  2. \(A^\perp\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  3. \(A^\perp=(Vect(A))^\perp\)

Bien noter le renversement de l'inclusion dans la propriété 1.

PreuvePreuves des propriétés relatives aux parties de E

  1. Soit \(x\) un vecteur appartenant à \(B^\perp\), il est donc orthogonal pour \(f\) à tous les vecteurs de \(B\), et en particulier orthogonal à tous les vecteurs de \(A\). Donc \(x\) appartient à \(A^\perp\).

  2. Soit \(A\) une partie non vide de \(E\). Comme \(0_E\) appartient à \(A^\perp\), \(A^\perp\) est non vide.

    Pour montrer que \(A^\perp\)est un sous-espace vectoriel de \(E\), il suffit de montrer qu'il est stable par combinaison linéaire :

    soient \(x\) et \(y\) des vecteurs appartenant à \(A^\perp\), \(\alpha\) et \(\beta\) des éléments de \(\mathbf K\), alors pour tout vecteur \(u\) de \(A\) on a :

    \(\begin{array}{rcl}f(\alpha x+\beta y,u)&=&\alpha f(x,u)+\beta f(y,u)\\&=&0\end{array}\)

    car \(u\) est orthogonal à \(x\) et à \(y\). Donc \(\alpha x+\beta y\) appartient à \(A^\perp\), et par conséquent \(A^\perp\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  3. D'après la propriété 1, comme \(A\) est contenu dans \(Vect(A)\), on a \((Vect(A))^\perp\subset A^\perp\).

    Réciproquement, tout élément de \(A^\perp\) est orthogonal à tout élément de \(A\) donc aussi à toute combinaison linéaire d'éléments de \(A\), donc appartient à l'orthogonal de \(Vect(A)\). Donc \(A^\perp\subset (Vect(A))^\perp\).

    On en déduit l'égalité \(A^\perp =(Vect(A))^\perp\).

Exemple

Dans l'exemple précédent, \(E=\mathbf R^3\) muni de la forme bilinéaire symétrique \(f\) définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3)\) et tout \(y=(y_1,y_2,y_3)\) de \(E\) par \(f(x,y)=x_1y_1-x_3y_3\), \(\{e_2\}^\perp=E\) et \(\{e_2,e_3\}^\perp=\mathbf Re_1\oplus \mathbf Re_2\).

Les deux parties \(\{e_2\}^\perp\) et \(\{e_2,e_3\}^\perp\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\) vérifiant l'inclusion \(\{e_2,e_3\}^\perp\subset \{e_2\}^\perp\).

Un cas particulier important est le suivant :

ThéorèmeOrthogonal d'un sous-espace vectoriel de type fini

Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\).

L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs de \(E\) est égal à l'orthogonal de cette famille :

si \(F=Vect(\{u_1,u_2,...,u_p\})\) alors \(F^\perp=\{u_1,u_2,...,u_p\}^\perp\).

Dans la pratique, cela signifie que si l'on connaît une famille génératrice d'un sous-espace vectoriel \(f\), un vecteur de \(E\) est dans \(F^\perp\) si et seulement si il est orthogonal à chaque vecteur de la famille génératrice.

Dans l'exemple précédent, \((\mathbf Re_2)^\perp=\{e_2\}^\perp=\mathbf R^3,~~(\mathbf Re_2\oplus \mathbf Re_3)^\perp=\{e_2,e_3\}^\perp=\mathbf Re_1\oplus \mathbf Re_2\).

PropriétéPropriétés relatives aux sous-espaces vectoriels de E

Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\), \(F\), \(F_1\) et \(F_2\) des sous-espaces vectoriels de \(E\). On a les propriétés suivantes :

  1. \(F\subset(F^\perp)^\perp\)

  2. \((F_1+F_2)^\perp=F_1^\perp\cap F_2^\perp\)

  3. \(F_1^\perp + F_2^\perp\subset(F_1\cap F_2)^\perp\)

PreuvePreuves des propriétés relatives aux sous-espaces vectoriels de E

  1. Soit \(x\) appartenant à \(F\). Pour tout \(y\) appartenant à \(F^\perp\), on a \(f(x,y)=0\). Cela signifie que \(x\) est orthogonal à tout vecteur de \(F^\perp\), donc \(x\) appartient à \((F^\perp)^\perp\). Cela prouve l'inclusion \(F\subset (F^\perp)^\perp\).

  2. On montre l'égalité \((F_1+F_2)^\perp=F_1^\perp\cap F_2^\perp\):

    \(F_1\subset F_1+F_2\) et \(F_2\subset F_1+F_2\), donc, d'après la propriété 1 relative aux parties de \(E\), \((F_1+F_2)^\perp \subset F_1^\perp\) et \((F_1+F_2)^\perp \subset F_2^\perp\), d'où \((F_1+F_2)^\perp \subset F_1^\perp\cap F_2^\perp\).

    Réciproquement, soit \(x\) appartenant à \(F_1^\perp\cap F_2^\perp\), donc \(x\) est orthogonal à tout élément de \(F_1\) et à tout élément de \(F_2\), donc aussi à la somme d'un élément \(u_1\) de \(F_1\) et d'un élément \(u_2\) de \(F_2\) car \(f(x,u_1+u_2)=f(x,u_1)+f(x,u_2)=0\), par conséquent \(x\) appartient à \((F_1+F_2)^\perp\).

    Donc \(F_1^\perp\cap F_2^\perp \subset (F_1+F_2)^\perp\).

    D'où l'égalité \((F_1+F_2)^\perp = F_1^\perp\cap F_2^\perp\).

  3. On montre \(F_1^\perp + F_2^\perp \subset (F_1\cap F_2)^\perp\):

    \(F_1\cap F_2 \subset F_1\) et \(F_1\cap F_2 \subset F_2\), donc \(F_1^\perp \subset (F_1\cap F_2)^\perp\) et \(F_2^\perp \subset (F_1\cap F_2)^\perp\).

    Par conséquent, comme \(F_1^\perp + F_2^\perp\) est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(F_1^\perp\) et \(F_2^\perp\), et comme \((F_1\cap F_2)^\perp\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), on en déduit : \(F_1^\perp + F_2^\perp \subset (F_1\cap F_2)^\perp\).

Remarque

Les inclusions \(F\subset (F^\perp)^\perp\) et \(F_1^\perp + F_2^\perp \subset (F_1\cap F_2)^\perp\) peuvent être strictes comme le montre l'exemple suivant :

Exemple

Soit \(E=\mathbf R^3\) muni de la forme bilinéaire symétrique \(f\) définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3)\) et tout \(y=(y_1,y_2,y_3)\) de \(E\) par \(f(x,y)=x_1y_1-x_3y_3\). On a remarqué précédemment que l'orthogonal de \(\mathbf Re_1\) est \((\mathbf Re_1)^\perp=\mathbf Re_2 \oplus \mathbf Re_3\), et que l'orthogonal du sous-espace vectoriel \(\mathbf Re_2 \oplus \mathbf Re_3\) est \((\mathbf Re_2 \oplus \mathbf Re_3)^\perp=\mathbf Re_1 \oplus \mathbf Re_2\).

Dans cet exemple \(\mathbf Re_1\subset((\mathbf Re_1)^\perp)^\perp\) et cette inclusion est stricte.

Soient \(F_1=\mathbf Re_1\) et \(F_2=\mathbf R(e_1+e_2)\), alors \(F_1\cap F_2=\{0_E\}\), donc \((F_1\cap F_2)^\perp=E\).

On a vu que \(F_1^\perp=\mathbf Re_2 \oplus \mathbf Re_3\). On détermine \(F_2^\perp\) et \(F_1^\perp+F_2^\perp\): \(F_2^\perp=\{e_1+e_2\}^\perp=\{(y_1,y_2,y_3)\in E/y_1=0\}\), donc \(F_2^\perp=F_1^\perp=\mathbf Re_2 \oplus \mathbf Re_3\), donc \(F_1^\perp + F_2^\perp=\mathbf Re_2 \oplus \mathbf Re_3\).

Là aussi l'inclusion \(F_1^\perp + F_2^\perp \subset (F_1\cap F_2)^\perp\) est stricte.

Mais on peut aussi avoir des égalités : par exemple, l'orthogonal de \(\mathbf Re_2\) est \(E\) et l'orthogonal de \(E=\mathbf R^3\) est :

\(\begin{array}{rcl}E^\perp&=&\{e_1,e_2,e_3\}^\perp\\&=&\{y=(y_1,y_2,y_3)\in \mathbf R^3/y_1=y_3=0\}\\&=&\mathbf Re_2\end{array}\)

Ici on a l'égalité \(((\mathbf Re_2)^\perp)^\perp=\mathbf Re_2\).