Rappel sur l'orthogonalité au sens de la dualité

L'étude de la dualité fait apparaître aussi une notion d'orthogonalité :

  • si est un sous-espace vectoriel de , l'orthogonal de au sens de la dualité, que l'on note ici pour éviter toute confusion, est le sous-espace vectoriel de défini ainsi : ,

  • si est un sous-espace vectoriel de , l'orthogonal de est le sous-espace vectoriel de défini par : .

Pour tout sous-espace vectoriel de , on a les résultats importants suivants quand est de type fini :

Ce résultat ne se transpose pas dans l'étude de l'orthogonal relativement à une forme bilinéaire symétrique, comme le montre l'exemple suivant :

  • Soit la forme bilinéaire symétrique sur définie pour tout et tout de par .

    Alors , donc .

Mais l'orthogonalité au sens de la dualité va permettre d'obtenir une relation entre les dimensions de et de son orthogonal pour la forme bilinéaire symétrique.

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