Dimension de l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel relativement à une forme bilinéaire symétrique
Théorème : Relation entre les dimensions de F et de F^\perp
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini, \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) et \(q\) la forme quadratique associée à \(f\) ; soit \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
On a la relation suivante : \(\dim E=\dim F+\dim F^\perp-\dim (E^\perp\cap F)\).
Attention :
On déduit de ce théorème l'inégalité : \(\dim F+\dim F^\perp \ge \dim E\).
Preuve : Relation entre les dimensions de F et de son orthogonal
On considère l'application linéaire \(\Phi_f\) de \(E\) dans \(E^*\) définie auparavant, \(\Phi_f(x)=f_x\), où \(f_x\) est l'application de \(E\) dans \(\mathbf K\) définie par \(f_x(y)=f(x,y)\).
L'image du sous-espace vectoriel \(F\) est le sous-espace vectoriel \(G=\Phi_f(F)\) de \(E^*\). On considère l'orthogonal de \(G\) au sens de la dualité :
\(\begin{array}{rcl}G^0&=&\{y\in E/\forall x\in F,\Phi_f(x)(y)=0\}\\&=&\{y\in E/\forall x\in F,f(x,y)=0\}\end{array}\)
On remarque que l'orthogonal de \(G\) au sens de la dualité est égal à l'orthogonal de \(F\) relativement à \(f\) : \(G^0=F^\perp\).
Donc, d'après la relation \(\dim E=\dim G+\dim G^0\), on a
\(\dim E=\dim G+\dim F^\perp\). (1)
On s'intéresse donc à la dimension de \(G=\Phi_f(F)\).
Soit \(\Psi_f\) la restriction de \(\Phi_f\) à \(F\) :
\(\begin{array}{ccccc}\Psi_f &:& F &\rightarrow& E^*\\&&x&\mapsto& f_x\end{array}\)
D'après le théorème du rang : \(\dim F=\dim Im \Psi_f +\dim\ker \Psi_f\).
Or \(Im\Psi_f=\Psi_f(F)=\Phi_f(F)=G\). Donc
\(\dim G=\dim F-\dim \ker \Psi_f\). (2)
On détermine \(\ker \Psi_f\):
\(\begin{array}{rcl}\ker \Psi_f&=&\{x\in F/f_x=0\}\\&=&\{x\in F/\forall y\in E,f(x,y)=0\}\end{array}\)
Donc \(\ker \Psi_f=E^\perp \cap F\). (3)
Des égalités (1), (2) et (3), on déduit :
\(\dim E=\dim F+ \dim F^\perp -\dim(E^\perp \cap F)\).
Et ceci entraîne : \(\dim F+ \dim F^\perp\ge \dim E\).
Un cas particulier important est le cas où la forme bilinéaire symétrique \(f\) est non dégénérée, puisque dans ce cas le noyau de \(f\) est réduit au vecteur nul.
Théorème : Cas où E est de type fini et f non dégénérée. Dimension de et caractérisation de
Soient \(E\) un espace vectoriel de type fini sur le corps \(\mathbf K\) et \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) non dégénérée.
Alors, quelque soit le sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) :
\(\dim F^\perp=\dim E-\dim F\)
\((F^\perp)^\perp=F\)
Preuve :
La première identité est une conséquence de la proposition précédente \(\dim E=\dim F+ \dim F^\perp -\dim(E^\perp \cap F)\).
En effet, comme \(f\) est non dégénérée, \(E^\perp=\{0_E\}\), donc à fortiori \(E^\perp\cap F=\{0\}\).
La deuxième identité est une conséquence de la première : l'égalité \(\dim F^\perp=\dim E-\dim F\) est vraie pour tout sous-espace vectoriel \(F\), donc est vraie pour le sous-espace vectoriel \(F^\perp\), on a donc aussi \(\dim((F^\perp)^\perp)=\dim E-\dim F^\perp\), cela entraîne \(\dim((F^\perp)^\perp)=\dim F\).
Or on a toujours l'inclusion \(F\subset (F^\perp)^\perp\).
Donc \((F^\perp)^\perp=F\).
Remarque :
Si \(E\) est de type fini, on a en fait l'équivalence entre les trois propriétés suivantes :
La forme bilinéaire symétrique \(f\) est non dégénérée.
Pour tout sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\), \(\dim F^\perp=\dim E-\dim F\).
Pour tout sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\), \((F^\perp)^\perp=F\).
Preuve :
Le théorème prouve que (1) entraîne (2) et (3) ;
si (2) est vrai, en choisissant \(F=E\), on obtient \(\dim E^\perp=0\), donc \(E^\perp=\{0_E\}\), d'où (1) est vrai, et donc (3) aussi,
si (3) est vrai, en choisissant \(F=\{0_E\}\), alors \(F^\perp=E\), donc \(E^\perp=(F^\perp)^\perp=\{0_E\}\), d'où (1) est vrai et donc (2) aussi.
Dans le cas général (\(E\) espace vectoriel de dimension finie ou non, et \(f\) forme bilinéaire symétrique dégénérée ou non dégénérée), il a été démontré pour tous sous-espaces vectoriels \(F_1\) et \(F_2\) de \(E\) les relations suivantes : \((F_1+F_2)^\perp=F_1^\perp \cap F_2^\perp\); \(F_1^\perp+F_2^\perp \subset (F_1\cap F_2)^\perp\).
Du théorème précédent, on déduit le résultat suivant :
Corollaire :
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini et \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) non dégénérée.
Pour tous sous-espaces vectoriels \(F_1\) et \(F_2\)de \(E\), l'orthogonal de l'intersection de \(F_1\) et \(F_2\) est égal à la somme des orthogonaux de \(F_1\) et \(F_2\).
\(F_1^\perp+F_2^\perp=(F_1\cap F_2)^\perp\).
Preuve : Preuve du corollaire
En appliquant la relation \((F_1+F_2)^\perp= F_1^\perp \cap F_2^\perp\) aux sous-espaces vectoriels \(F_1^\perp\) et \(F_2^\perp\) on obtient \((F_1^\perp+F_2^\perp)^\perp= (F_1^\perp)^\perp \cap (F_2^\perp)^\perp\).
Or d'après le théorème précédent \((F^\perp)^\perp=F\), on obtient \((F_1^\perp+F_2^\perp)^\perp=F_1\cap F_2\), d'où \(((F_1^\perp+F_2^\perp)^\perp)^\perp=(F_1\cap F_2)^\perp\),ce qui entraîne \(F_1^\perp+F_2^\perp=(F_1\cap F_2)^\perp\).
Remarque :
Si \(E\) n'est pas de type fini, et \(f\) non dégénérée, les inclusions \(F\subset (F^\perp)^\perp\) et \(F_1^\perp+F_2^\perp\subset (F_1\cap F_2)^\perp\) peuvent être strictes.