Dimension de l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel relativement à une forme bilinéaire symétrique
Théorème : Relation entre les dimensions de F et de F^\perp

Soient un vectoriel de type fini, une forme bilinéaire symétrique sur et la forme quadratique associée à ; soit est un sous-espace vectoriel de .

On a la relation suivante : .

Attention

On déduit de ce théorème l'inégalité : .

Preuve : Relation entre les dimensions de F et de son orthogonal

On considère l'application linéaire de dans définie auparavant, , où est l'application de dans définie par .

L'image du sous-espace vectoriel est le sous-espace vectoriel de . On considère l'orthogonal de au sens de la dualité :

On remarque que l'orthogonal de au sens de la dualité est égal à l'orthogonal de relativement à : .

Donc, d'après la relation , on a

. (1)

On s'intéresse donc à la dimension de .

Soit la restriction de à :

D'après le théorème du rang : .

Or . Donc

. (2)

On détermine :

Donc . (3)

Des égalités (1), (2) et (3), on déduit :

.

Et ceci entraîne : .

Un cas particulier important est le cas où la forme bilinéaire symétrique est non dégénérée, puisque dans ce cas le noyau de est réduit au vecteur nul.

Théorème : Cas où E est de type fini et f non dégénérée. Dimension de et caractérisation de

Soient un espace vectoriel de type fini sur le corps et une forme bilinéaire symétrique sur non dégénérée.

Alors, quelque soit le sous-espace vectoriel de :

Preuve

La première identité est une conséquence de la proposition précédente .

En effet, comme est non dégénérée, , donc à fortiori .

La deuxième identité est une conséquence de la première : l'égalité est vraie pour tout sous-espace vectoriel , donc est vraie pour le sous-espace vectoriel , on a donc aussi , cela entraîne .

Or on a toujours l'inclusion .

Donc .

Remarque

Si est de type fini, on a en fait l'équivalence entre les trois propriétés suivantes :

  1. La forme bilinéaire symétrique est non dégénérée.

  2. Pour tout sous-espace vectoriel de , .

  3. Pour tout sous-espace vectoriel de , .

Preuve

Le théorème prouve que (1) entraîne (2) et (3) ;

si (2) est vrai, en choisissant , on obtient , donc , d'où (1) est vrai, et donc (3) aussi,

si (3) est vrai, en choisissant , alors , donc , d'où (1) est vrai et donc (2) aussi.

Dans le cas général ( espace vectoriel de dimension finie ou non, et forme bilinéaire symétrique dégénérée ou non dégénérée), il a été démontré pour tous sous-espaces vectoriels et de les relations suivantes : ; .

Du théorème précédent, on déduit le résultat suivant :

Corollaire

Soient un vectoriel de type fini et une forme bilinéaire symétrique sur non dégénérée.

Pour tous sous-espaces vectoriels et de , l'orthogonal de l'intersection de et est égal à la somme des orthogonaux de et .

.

Preuve : Preuve du corollaire

En appliquant la relation aux sous-espaces vectoriels et on obtient .

Or d'après le théorème précédent , on obtient , d'où ,ce qui entraîne .

Remarque

Si n'est pas de type fini, et non dégénérée, les inclusions et peuvent être strictes.

Légende :
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