Position du problème

Lorsque est une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel et un sous-espace vectoriel de , les sous-espaces et sont-ils supplémentaires ? L'exemple suivant montre que la réponse dépend à la fois de la forme bilinéaire et du sous espace .

Exemple

Soit la forme bilinéaire symétrique de définie pour tout de par .

  • Si est le sous-espace de d'équation , alors son orthogonal pour est . On a et , donc les sous-espaces et sont supplémentaires : .

  • Si est le sous-espace de d'équation , alors son orthogonal pour est . On a , donc les sous-espaces et ne sont pas supplémentaires.

Légende :
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