Théorème
Théorème : Condition nécessaire et suffisante pour qu'un sous-espace de type fini et son orthogonal soient supplémentaires

Soit un vectoriel, une forme bilinéaire symétrique sur , un sous-espace vectoriel de de type fini et son orthogonal pour . Les assertions suivantes sont équivalentes :

i) Le sous-espace est non isotrope pour .

ii) La restriction de f à F est une forme bilinéaire non dégénérée.

iii)

Remarque
  1. Le théorème est énoncé dans le cadre d'un espace vectoriel qui n'est pas nécessairement de type fini car il joue un rôle important en analyse (cas des espaces préhilbertiens).

  2. Lorsque est de type fini, les sous-espaces et sont supplémentaires si et seulement si est non isotrope.

  3. Lorsque est de type fini et , en notant une base de et une base de alors est une base de et et sont des matrices carrées d'ordres respectifs la dimension de et la dimension de .

  4. Le théorème est faux si n'est pas de type fini.

  5. L'égalité n'implique pas (rappel : on a toujours ).

Exemple : Contre-exemple de la remarque 4

Soit l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et la forme bilinéaire symétrique définie sur par :

.

Comme n'admet que le polynôme nul pour vecteur isotrope, tout sous-espace de est non isotrope. Nous donnons ci-dessous un sous-espace tels que et ne sont pas supplémentaires et un sous-espace tels que et sont supplémentaires.

  • Considérons le sous-espace vectoriel de :

    ,

    on a . En effet si est un polynôme non nul il existe un entier et des réels tels que et . Soit le polynôme . On a donc , et . D'où et . Comme , les sous espaces et ne sont pas supplémentaires.

    On peut remarquer ici que n'est pas de type fini car il est égal à l'ensemble des polynômes qui sont divisibles par .

  • Considérons le sous-espace vectoriel de :

    ,

    On a . En effet si alors . Comme on a et les sous espaces et sont supplémentaires.

Exemple : Contre-exemple de la remarque 5

Dans considérons la forme bilinéaire symétrique définie pour tout et tout de par .

On note et . Comme :

on a et . Or :

donc et .

Preuve : Preuve du théorème de la remarque 5

Dans la proposition caractérisation des sous-espaces isotropes on a montré que le sous-espace est non isotrope si et seulement si la restriction de à est une forme bilinéaire non dégénérée, par conséquent les assertions i) et ii) sont équivalentes.

Montrons que i) implique iii).

On suppose que est non isotrope.

On a . On va montrer que pour tout vecteur , il existe un vecteur tel que . Ceci prouvera que tout vecteur de est la somme d'un vecteur de et d'un vecteur de et par conséquent que . Pour cela on notera le dual de , c'est à dire l'ensemble des formes linéaires définies sur .

Soit un vecteur de et la forme linéaire sur définie par :

.

On considère l'application :

est la forme linéaire sur définie par :

.

Comme est non isotrope, la forme bilinéaire induite sur par est non dégénérée et étant de plus de type fini, l'application est un isomorphisme (d'après les propriétés établies dans la page sur l'application de dans son dual).

Comme , il existe un vecteur tel que . Cela signifie que pour tout on a , c'est-à-dire :

.

Cette égalité prouve que pour tout on a , donc . Cette construction est possible pour tout vecteur de , et l'égalité montre que .

Montrons que iii) implique i).

Si on a alors , et le sous-espace est non isotrope pour .

Remarque :

Lorsque est de type fini on peut montrer autrement que i) implique iii).

Lorsque est de type fini, pour tout sous-espace on a .

Si est un sous-espace non isotrope alors . On a donc et . D'après l'inégalité ci-dessus on obtient . Ceci prouve que les sous-espaces et sont supplémentaires : .

Légende :
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