Interprétation du problème
Soit \(q\) une forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension \(n\). Le théorème démontré dans le paragraphe précédent assure l'existence d'une base orthogonale pour \(q\). Si \(B=(\epsilon_1,\epsilon_2,\ldots,\epsilon_n)\) est une telle base, il existe des scalaires (certains pouvant être nuls) tels que si un élément \(x\) de \(E\) est écrit sous la forme \(x=x_1\epsilon_1+x_2\epsilon_2+\ldots+x_n\epsilon_n\), alors \(q(x)=\alpha_1x_1^2+^\alpha_2x^2_2+\ldots+\alpha_nx_n^2\).
On considère dans le dual de \(E\), la base \(B^*=(\epsilon^*_1,\epsilon^*_2,\ldots,\epsilon^*_n)\) base duale de la base \(B\). Le scalaire \(x_i\) est l'image de \(x\) par la forme linéaire \(\epsilon_i^*\). Alors on a la
formule : \(q(x)=\alpha_1[\epsilon^*_1(x)]^2+\alpha_2[\epsilon^*_2(x)]^2+\ldots+\alpha_n[\epsilon^*_n(x)]^2\)
Cela signifie que l'on a écrit q comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes.
Rappel : Rappel sur la notion de base duale
Soit \(B=(v_1,v_2,\ldots,v_p)\) une base d'un espace vectoriel \(E\) de dimension \(p\). Pour tout entier \(i\) compris entre \(1\) et \(p\), on définit la forme linéaire \(v^*_i\) par :
\(v_i^*(v_j)=0\) si \(j\neq i\)
\(v_i^*(v_j)=1\) si \(j=i\)
Alors \((v_1^*,v_2^*,\ldots,v_p^*)\) est une base de \(E^*\) appelée \(base duale\) de la base \(B=(v_1,v_2,\ldots,v_p)\).
Par exemple si \(B=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\) est la base canonique de \(R^n\), la base duale de \(B\) est la base où pour tout \(i\) compris entre \(1\) et \(n\) :
\(e^*_i((x_1,x_2,\ldots,x_n))=x_i\)
Réciproquement, supposons qu'il existe des formes linéaires \(f_1,f_2,\ldots,f_p\), linéairement indépendantes, telles que \(q(x)=\lambda_1[f_1(x)]^2+\lambda_2[f_2(x)]^2+\ldots+\lambda_p[f_p(x)]^2\), où les \(\lambda_j\) sont non nuls.
Si \(p\) est strictement inférieur à \(n\), il existe, d'après le théorème de la base incomplète, des formes linéaires \(f_{p+1}, f_{p+2},\ldots,f_n\) telles que \((f_1,f_2,\ldots,f_n)\) soit une base de \(E^*\). Si ^\(\)est égal à \(n\) on a directement une base de \(E^*\). Ce qui suit est donc commun aux deux cas.
Soit \((\epsilon_1,\epsilon_2,\ldots,\epsilon_n)\) la base de \(E\) antéduale de la base \((f_1,f_2,\ldots,f_n)\) c'est-à-dire telle que \(\forall i, 1\leq i\leq n\), \(\epsilon_i^*=f_i\). Cela signifie donc que :
\(\forall(i,j), 1\leq i \leq n, 1\leq j\leq n\) \(f_i(\epsilon_j)=\delta_{i,j}\)
où \(\delta_{i,j}\) désigne le symbole de Kronecker.
Alors si \(x=y_1\epsilon_1+y_2\epsilon_2+\ldots+y_n\epsilon_n\), \(q(x)=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\ldots+\lambda_py_p^2\), ce qui prouve que la base \((\epsilon_1,\epsilon_2,\ldots,\epsilon_n)\) est une base orthogonale pour \(q\) et que la matrice associée à \(q\) dans la base \((\epsilon_1,\epsilon_2,\ldots,\epsilon_n)\)est :
\(\left(\begin{array}{cccccc}\lambda_1&0&\ldots&&\ldots&0\\0&\ddots&\ddots&&&\vdots\\\vdots&\ddots&\lambda_p&&&\\&&&0&\ddots&\vdots\\\vdots&&&\ddots&\ddots&0\\0&\ldots&&\ldots&0&0\end{array}\right)\)si \(p\) est strictement inférieur à \(n\),
ou : \(\left(\begin{array}{cccccc}\lambda_1&0&\ldots&0\\0&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\ldots&0&\lambda_n\end{array}\right)\) si \(p\) est égal à \(n\).
On en déduit aussi que \(p\) est le rang de \(q\).
Conclusion : Trouver une base orthogonale relativement à \(q\) revient à décomposer \(q\) en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes.
Remarque :
Souvent, dans la pratique on dit « décomposer la forme quadratique en carrés » ce qui est incorrect car incomplet mais beaucoup plus rapide.