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Interprétation du problème

Soit une forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension . Le théorème démontré dans le paragraphe précédent assure l'existence d'une base orthogonale pour . Si est une telle base, il existe des scalaires (certains pouvant être nuls) tels que si un élément de est écrit sous la forme , alors .

On considère dans le dual de , la base base duale de la base . Le scalaire est l'image de par la forme linéaire . Alors on a la

formule :

Cela signifie que l'on a écrit q comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes.

Rappel : Rappel sur la notion de base duale

Soit une base d'un espace vectoriel de dimension . Pour tout entier compris entre et , on définit la forme linéaire par :

si

si

Alors est une base de appelée de la base .

Par exemple si est la base canonique de , la base duale de est la base où pour tout compris entre et :

Réciproquement, supposons qu'il existe des formes linéaires , linéairement indépendantes, telles que , où les sont non nuls.

Si est strictement inférieur à , il existe, d'après le théorème de la base incomplète, des formes linéaires telles que soit une base de . Si ^ est égal à on a directement une base de . Ce qui suit est donc commun aux deux cas.

Soit la base de antéduale de la base c'est-à-dire telle que , . Cela signifie donc que :

désigne le symbole de Kronecker.

Alors si , , ce qui prouve que la base est une base orthogonale pour et que la matrice associée à dans la base est :

si est strictement inférieur à ,

ou : si est égal à .

On en déduit aussi que est le rang de .

Conclusion : Trouver une base orthogonale relativement à revient à décomposer en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes.

Remarque

Souvent, dans la pratique on dit « décomposer la forme quadratique en carrés » ce qui est incorrect car incomplet mais beaucoup plus rapide.

Légende :
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