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Comment déterminer explicitement une base orthogonale à partir d'une décomposition en carrés ?

Les notations précédentes sont conservées.

Connaissant formes linéaires, linéairement indépendantes , il s'agit de chercher explicitement une base vérifiant les conditions :

, .

On va donner deux méthodes.

Première méthode

Soit un entier compris entre 1 et . Le vecteur satisfait aux relations :

Soit une base de et sa base duale. Alors en exprimant sur la base et les formes sur la base , les conditions précédentes se traduisent par un système de équations à inconnues qui sont les coordonnées de sur .

Donc on trouve la base en résolvant systèmes de équations à inconnues.

En fait les premiers membres de ces systèmes sont les mêmes, seuls changent les deuxièmes membres. Par conséquent, dans la pratique, il suffit d'utiliser une fois la méthode du Pivot de Gauss avec un second membre quelconque puis de trouver les solutions en prenant successivement tous les seconds membres adéquats. L'exemple qui va être donné illustrera bien l'algorithme.

Deuxième méthode

Elle consiste à trouver une formule traduisant le procédé précédent.

Les formes étant données par la décompositions en carrés, on connaît la matrice de passage de la base à la base . Pour déterminer les vecteurs tels que , , il suffit de connaître l'expression de chacun d'eux dans la base . Autrement dit il s'agit de déterminer la matrice de passage de la base à la base .

Or est la matrice de l'application identique de en choisissant comme base de espace de départ, et comme base de espace d'arrivée. Cela peut être schématisé de la manière suivante :

Alors on sait que est la matrice de l'application identique de (qui est la transposée de l'application identique de ) en choisissant comme base de espace de départ et comme base de espace d'arrivée. Cela peut être schématisé de la manière suivante :

En remplaçant dans cette formule par cela donne :

Donc est la matrice de passage de la base à la base . Et par conséquent est la matrice de passage de la base à la base , soit . Donc ce qui équivaut à .

Le résultat obtenu est le suivant :

Propriété

Soit une base de et une base de . Soit la matrice de passage de la base à la base .

Soit la base de antéduale de la base c'est-à-dire vérifiant les propriétés

.

Alors la matrice de passage de la base à la base est donnée par la formule :

Propriété : Propriétés utilisées
  1. Soient et deux espaces vectoriels de type fini, et des bases de et respectivement. Soit une application linéaire de dans . Alors :

Exemple

Soit l'application de dans définie pour tout par .

C'est bien une forme quadratique sur (expression polynômiale homogène de degré 2 par rapport aux ). Cherchons une base orthogonale pour .

On observe que est une combinaison linéaire de carrés des formes linéaires et .

Il est clair que ces deux formes sont linéairement indépendantes. Donc on a une décomposition en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes. On en déduit immédiatement que est de rang (donc est dégénérée).

D'après ce qui précède la première étape consiste à compléter la famille libre par une forme linéaire de manière à ce que soit une base de . Prenons par exemple qui convient.

Pour trouver une base orthogonale, on va utiliser successivement les deux méthodes qui viennent d'être décrites.

Première méthode

Soit un vecteur de . C'est la base canonique qui joue le rôle de la base . Soit un élément de .

Première étape : résolution du système linéaire

Avec les données numériques de l'exemple cela donne : (S) .

Il est équivalent au système :

Deuxième étape : détermination des vecteurs .

Cela revient à résoudre le système (S) successivement avec , puis , et enfin .

  • Vecteur : on a : . Alors, d'après le résultat précédent :

    et donc .

  • Vecteur : on a : . Alors, d'après le résultat précédent :

    et donc .

  • Vecteur : on a : . Alors, d'après le résultat précédent :

    , et donc .

Deuxième méthode

En conservant les notations précédentes, il vient et donc .

Cela donne la base orthogonale avec , et .

Légende :
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