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Algorithme de Gauss

Il s'agit d'un algorithme permettant de trouver une décomposition d'une forme quadratique en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes.

Les identités suivantes sont les outils essentiels de cet algorithme :

La preuve est basée sur une démonstration par récurrence sur la dimension de .

  • Si , il n'y a rien à dire.

  • Supposons que toute forme quadratique sur un espace de dimension admette une décomposition en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes.

  • Soit une forme quadratique sur un espace de dimension .

    Si est une base quelconque de , un élément de s'écrit et .

Premier cas : il existe au moins un indice i pour lequel ai,i est non nul.
Second cas : il n'existe pas d'indice i pour lequel ai,i soit non nul.
Remarque : Remarque sur l'unicité et la méthode

Il y a des choix arbitraires tout au long de l'algorithme. Par exemple, s'il y a plusieurs coefficients non nuls, on en choisit un à la première étape et tout le reste en dépend. On verra dans le paragraphe suivant que certains éléments d'une telle décomposition se conservent et ne dépendent donc que de la forme quadratique ou de la forme bilinéaire symétrique considérée.

Par exemple on sait déjà, compte tenu du théorème d'existence, que le nombre de formes linéaires intervenant explicitement c'est-à-dire précédées d'un coefficient non nul se conserve puisque c'est le rang de la forme quadratique.

Remarque : Remarque sur la méthode

Il y a bien sûr d'autres moyens d'écrire une forme quadratique comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires (voir l'exemple 2 suivant). La difficulté est de s'assurer que la méthode conduit à des formes linéaires, linéairement indépendantes. La méthode de Gauss assure cette indépendance linéaire qui n'a donc pas besoin d'être vérifiée à posteriori.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
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