Connecteurs

Le mathématicien De Morgan a énoncé des lois qui indiquent comment prendre la négation d'une disjonction, ou la négation d'une conjonction.

Négation^[1] de la disjonction^[2]

D'après l'inventaire des trois cas possibles pour la proposition \("P~ou~Q",\) la proposition \("non ~(P~ou~Q)"\) signifie que l'on a \("P"\) faux et \("Q"\) faux, c'est-à-dire que l'on a la proposition \("(non ~P)~ et~ (non~ Q)"\) :

\(non~ (P~ ou~ Q)\Leftrightarrow ((non~ P) ~et~ (non~ Q))\)

Négation de la ^[3] conjonction^[3]

De même la proposition \("non~ (P~ et~ Q)"\) signifie que l'on est dans l'un des trois cas : \("P"\) faux et \("Q"\) vrai, \("P"\) faux et \("Q"\) faux, \("P"\) vrai et \("Q"\) faux, c'est-à-dire que l'une au moins des propriétés \("P",\) \("Q"\) est fausse, et que l'on a la proposition \("(non~ P)~ ou~ (non~ Q)"\) :

\(non~ (P~ et~ Q) \Leftrightarrow((non~ P)~ ou~ (non ~Q))\)

La méthode des tables de vérité fournit une preuve de ces propriétés. Notez bien que les deux premières colonnes font l'inventaire de tous les cas possibles.

(1 = VRAI , 0 = FAUX)

Négation de la disjonction

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline P &Q&non P&non Q&P ou Q&non (P ou Q)&non P et non Q\\\hline 1&1&0&0&1&0&0\\\hline1&0&0&1&1&0&0 \\\hline0&1&1&0&1&0&0 \\\hline0&0&1&1&0&1&1 \\\hline \end{array}\)

Négation de la conjonction

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline P&Q&non P&non Q&P et Q&non (P et Q)&non P ou non Q\\\hline 1&1&0&0&1&0&0\\\hline1&0&0&1&0&1&1 \\\hline0&1&1&0&0&1&1 \\\hline0&0&1&1&0&1&1 \\\hline\end{array}\)