Définitions
Série convergente, série divergente.

Soit une suite de nombres réels ou complexes, et, pour tout , soit la somme des premiers termes de cette suite.

Si la suite est convergente, on dit que la série de terme général (ou série ) est convergente. La limite, notée , de la suite est la somme de la série . On écrit alors : .

Si la suite est divergente, on dit que la série de terme général (ou série ) est divergente.

Somme partielle d'ordre n.

Le nombre est appelé somme partielle d'ordre de la série .

Remarque
  1. D'un point de vue purement logique, la série de terme général s'identifie complétement avec la suite et le mot série ne désigne pas une notion réellement nouvelle. La théorie des séries pourrait se ramener à celle des suites, mais du point de vue pratique, il est plus commode d'étudier la convergence de la série à partir de la donnée de . C'est pour une grande part l'objet de ce chapitre.

    Réciproquement, si une suite est donnée, on peut lui associer la série de terme général

    et , .

    On a alors : , .

  2. Pour une série à termes réels , trois cas peuvent se présenter

    • la suite a une limite finie,

    • la suite tend vers ou ,

    • la suite n'a pas de limite.

    Dans le premier cas la série est convergente, dans les deux autres cas la série est divergente.

    Nous avons précisé limite finie. Par définition, la limite, pour les suites comme pour les fonctions, est un nombre réel. Mais, dans les cas des suites et des fonctions qui tendent vers ou , certains parlent de limite infinie, ce qui s'interprète facilement dans le cadre de la droite achevée .

Dans tout le chapitre, quand nous parlerons de limite sans préciser, il s'agira de limite finie.

Règle : A propos des notations

Si on considère une suite définie à partir d'un certain rang , on note alors la série ou s'il n'y a pas d'ambiguïté. Un cas très fréquent est celui où la suite est définie pour . C'est le cas des séries de Riemann ou séries de terme général .

Lorsqu'une telle série est convergente, on note ou sa somme (le choix de l'une ou l'autre notation étant d'ordre typographique et non mathématique) c'est-à-dire la limite de la suite quand tend vers .

De façon générale, on prendra bien soin de distinguer la série de sa somme ou qui est un nombre réel ou complexe. Ainsi si on considère les suites et définies respectivement par :

les deux séries sont distinctes , mais leurs sommes sont égales : .

Reste d'ordre n.

Si la série est convergente et de somme , le nombre défini par est appelé reste d'ordre de la série .

Ainsi quand la série est convergente, la suite tend vers 0. C'est la rapidité de la convergence de la suite vers 0 qui caractérise la rapidité de convergence de la série.

Légende :
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