Exemples
  1. Étude de la série de terme général

    On a, pour tout entier : et . La suite n'a pas de limite et la série de terme général est divergente.

  2. Étude de la série de terme général

    On a, pour tout entier .

    Donc la suite tend vers et la série de terme général est divergente.

  3. Étude de la série de terme général

    On a défini, dans le cours sur les suites, le nombre comme la limite commune des deux suites adjacentes et définies, pour tout entier par :

    et .

    En fait, on reconnaît dans la suite la suite (pour ) des sommes partielles de la série de terme général . La limite commune des deux suites est donc .

    La série est convergente et a pour somme le nombre .

  4. Étude de la série géométrique

    On considère la série (appelée série géométrique de raison ) de terme général

    On a : .

    Dans le cas où , on a : . La suite tend vers et la série diverge.

    Sinon, pour , on a : . La suite est convergente si et seulement si la suite est convergente. On distingue donc les cas et .

    • Si x vérifie , la suite est divergente et la série l'est également.

    • Si x vérifie , la suite est convergente et a pour limite 0. La série géométrique est convergente et a pour somme . Le reste vérifie, pour tout entier , et la convergence de la série est d'autant plus rapide que est petit.

      Pour tout appartenant à l'intervalle , on a : .

Légende :
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