Séries absolument convergentes

La notion de convergence absolue est fondamentale car le théorème suivant est le principal outil pour l'étude des séries. Ce théorème va orienter l'étude des séries vers celle des séries à termes positifs.

Définition

Soit une suite à termes réels (resp. complexes). On dit que la série de terme général est absolument convergente si la série de terme général est convergente.

Théorème

Une série à termes réels (resp. complexes) absolument convergente est convergente.

Preuve

Soit un réel strictement positif.

La série est convergente. Elle satisfait donc à la condition de Cauchy. Il existe un rang tel que :

Soient et tels que . On a alors, en appliquant l'inégalité triangulaire :

On a donc montré la propriété suivante :

La série satisfait donc à la condition de Cauchy : elle est convergente.

La preuve ci-dessus utilise le critère de Cauchy, en voici une qui est la conséquence du théorème de comparaison

Preuve

Il s'agit de montrer que toute série telle que la série est convergente, est également convergente. Compte tenu des inégalités et , il suffit de montrer cette propriété pour des séries réelles.

On considère donc une série à termes réels. On a, pour tout : et . Ainsi, si la série est convergente, il en est de même des séries et , et donc de la série .

Remarque

La convergence absolue est une condition suffisante de convergence. Nous verrons des séries qui sont convergentes, sans être absolument convergentes.

Légende :
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S'exercer
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