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Propriétés de linéarité

La somme d'une série étant définie comme limite d'une suite, les théorèmes concernant les suites convergentes s'appliquent aux séries convergentes. En particulier :

Théorème
  • Soient et deux suites à termes réels (resp. complexes) telles que les séries et soient convergentes. Alors la série est convergente et :

    .

  • Soit une suite à termes réels (resp. complexes) telle que la série soit convergente. Alors, pour tout réel (resp. complexe), la série est convergente et :

    .

    Ainsi, l'ensemble des suites réelles (resp. complexes), telles que la série soit convergente, est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles (resp. complexes) de limite nulle.

Définition : Sous-espace vectoriel

Soit un -espace vectoriel, et soit une partie de telle que :

  • est non vide ;

  • est stable pour l'addition : , , ;

  • est stable pour la multiplication par un scalaire : , , .

Alors la partie , munie de ces deux lois, a une structure de -espace vectoriel et est appelée sous-espace vectoriel de E.

On en déduit en particulier la propriété suivante.

Soit une suite réelle ; on pose, pour tout entier , et . On a : et .

Donc, d'après le théorème précédent, si les séries et sont convergentes, les séries et sont convergentes.

On verra ultérieurement que, si la série est convergente, alors les séries et sont convergentes, et donc la série est également convergente.

Pour les séries à termes complexes on a la proposition :

Proposition

Une série de terme général appartenant à est convergente si et seulement si les deux séries de terme général respectif Re( ) et Im( ) sont convergentes.

Preuve

La suite est convergente si et seulement si les deux suites et le sont.

Cette proposition montre que l'étude d'une série à termes complexes se ramène à l'étude de deux séries à termes réels.

Légende :
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