Exercice 15
Partie
Question
Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies sur \(\mathbb{R^+}\) par : \(f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}\) .
Aide simple
La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R^+}\) vers \(\tilde{0}\) .
Pour avoir convergence uniforme, il faut montrer que \(\underset{x \in l}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \}\) tend vers 0 quand n \(\rightarrow +\infty\). Il faut donc exprimer ce sup (ou un majorant) en fonction de n et regarder s'il tend vers 0 quand n tend vers \(+\infty\) .
Solution détaillée
On cherche \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \}\).
Pour tout n,\( |f_n(x)- 0|= |f_n(x)|= f_n(x) =\frac{x}{ 1 + nx}\) .
\(f_n'(x) = \frac{1}{(1+ nx)^2} > 0\) .
La fonction \(f_n\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R^+}\) .
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty \textrm{ }} f_n(x) = \frac{1}{n}\) (pour n \(\geqslant\) 1)
Donc \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \} = \frac{1}{n}\)
Comme cette borne supérieure tend vers 0 lorsque n tend vers +\(\infty\) , on en déduit, par définition, que la suite (\(f_n\)) converge uniformément sur \(\mathbb{R^+}\) vers \(\tilde{0}\) .
La suite (\(f_n\)) converge uniformément sur \(\mathbb{R^+}\) vers \(\tilde{0}\) .