Exercice 19
Partie
Question
Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies, pour n \(\geqslant\) 1, sur \(\mathbb{R^+}\) par \(f_n(x) = \frac{x}{x + n}\) .
Aide simple
La suite de fonctions converge simplement vers \(\tilde{0}\) sur \(\mathbb{R^+}\).
Pour avoir convergence uniforme, il faut montrer que \(\underset{x \in l}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \}\) tend vers 0 quand n \(\rightarrow +\infty\) . Il faut donc exprimer ce sup (ou un majorant) en fonction de n et regarder s'il tend vers 0 quand n tend vers \(+\infty\) .
Solution détaillée
On cherche \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \}\).
Pour tout n \(\geqslant\) 1, \(|f_n(x)- 0|= |f_n(x)|= f_n(x) = \frac{x}{x + n} .\)
\(f_n'(x) = \frac{n}{(x + n)^2}\) > 0 .
La fonction \(f_n\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R_+}\).
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty \textrm{ }} f_n(x) = 1\)
Donc \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \}=1\) ce qui prouve que la convergence de la suite (\(f_n\)) vers la fonction f n'est pas uniforme sur\( \mathbb{R_+}\).
La convergence de la suite (\(f_n\)) vers la fonction f n'est pas uniforme sur \(\mathbb{R_+}\)