Exercice 17

Partie

Question

Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies sur \(\mathbb{R^+}\) par :

\(f_n(x) = \frac{x^2}{1 + nx^2}\)

Aide simple

La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R^+}\) vers \(\tilde{0}\).

Pour avoir convergence uniforme, il faut montrer que \(\underset{x \in l}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \} \) tend vers 0 quand n \(\rightarrow +\infty\) . Il faut donc exprimer ce sup (ou un majorant) en fonction de n et regarder s'il tend vers 0 quand n tend vers \(+\infty\) .

Solution détaillée

On cherche \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \} \) .

Pour tout n, \(| f_n(x)- 0 |= | f_n(x) |= f_n(x) = \frac{x^2}{1 + nx^2}\)

\(f_n'(x) = \frac{2x}{(1 + nx^2)^2} \geqslant 0\) et \(f_n'(x)\) ne s'annule que pour x = 0.

La fonction \(f_n\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R_+}\).

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty \textrm{ }}  f_n(x) = \frac{1}{n}\) (pour n \(\geqslant\) 1).

Donc \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \} = \frac{1}{n}\)

Comme cette borne supérieure tend vers 0 lorsque n tend vers \(+\infty\), on en déduit, par définition, que la suite (\(f_n\)) converge uniformément sur \(\mathbb{R_+}\) vers \(\tilde{0}\) .

La suite (\(f_n\)) converge uniformément sur \(\mathbb{R_+}\) vers \(\tilde{0}\) .