Exercice 21
Partie
Question
Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies pour n \(\geqslant\) 1 par \(f_n(x) = sin \left(\frac{x}{n} \right)\) .
Aide simple
La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R}\) vers\( \tilde{0}\) .
Pour avoir convergence uniforme, il faut montrer que \(\underset{x \in l}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \}\) tend vers 0 quand n \(\rightarrow +\infty\) . Il faut donc exprimer ce sup (ou un majorant) en fonction de n et regarder s'il tend vers 0 quand n tend vers \(+\infty\) .
Montrer que\( f_n(x)\) prend la valeur 1 pour des x bien choisis.
Solution détaillée
On cherche \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \}\) .
Pour tout n \(\geqslant\) 1, \(| f_n(x)- 0 |= | f_n(x) |= |sin \left( \frac{x}{n} \right)| \leqslant 1\) .
De plus, pour tout k de \(\mathbb{Z}\) , si l'on choisit \(t = n(2k + 1).\frac{\pi}{2}\) alors\( |f_n(t)| = 1\) ; ceci montre que, lorsque x tend vers \(+\infty\) , il existe une infinité de valeurs de x pour lesquelles \(|f_n(x)|\) est égal à 1.
Donc \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \}=1\) et la convergence de la suite (\(f_n\)) vers \(\tilde{0}\) n'est pas uniforme sur \(\mathbb{R}\).
La convergence de la suite (\(f_n\)) vers \(\tilde{0}\) n'est pas uniforme sur \(\mathbb{R}\) .