Exercice 18
Partie
Question
Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies sur \(\mathbb{R^+}\) par :
\(f_n(x) = \frac{1}{1 + nx}\)
Aide simple
La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R^+}\) vers la fonction f définie par f (0) = 1 et, pour x > 0, f (x) = 0.
Pour avoir convergence uniforme, il faut montrer que \(\underset{x \in l}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \} \) tend vers 0 quand n \(\rightarrow +\infty\) . Il faut donc exprimer ce sup (ou un majorant) en fonction de n et regarder s'il tend vers 0 quand n tend vers \(+\infty\).
Solution détaillée
On cherche \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \} \) .
\(|f_n (0)- f (0)|\) = 1- 1 = 0
x > 0 \(|f_n(x )- f (x)| =\bigg |\frac{1}{1 + nx} - 0 \bigg | = \frac{1}{1 + nx}\)
La fonction \(x \longmapsto \frac{1}{1 + nx}\) est strictement positive et strictement décroissante sur ]0, \(+\infty\) [ et \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0 \textrm{ }} \frac{1}{1 + nx} = 1\)
Donc \(\underset{x \in \mathbb{R_+}}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \}=1 \) ce qui prouve que la convergence de la suite (\(f_n\)) vers la fonction f n'est pas uniforme sur \(\mathbb{R^+}\) .
La convergence de la suite (\(f_n\)) vers la fonction f n'est pas uniforme sur \(\mathbb{R^+}\) .