Exercice 24
Partie
Question
Soit f une application d'un ensemble E dans \(\mathbb{R}\) minorée par un réel a strictement positif.
On considère la suite de fonctions \(x \rightarrow f_n(x) = \frac{nf(x)}{1 + nf(x)}\)
Étudier la convergence uniforme de la suite (\(f_n\)) sur E.
Aide simple
La suite (\(f_n\)) converge simplement sur E vers la fonction constante égale à 1.
Pour avoir convergence uniforme, il faut montrer que \(\underset{x \in l}{sup} \Big \{ |f_n(x )- f(x) | \Big \}\) tend vers 0 quand n \(\rightarrow +\infty\) . Il faut donc exprimer ce sup (ou un majorant) en fonction de n et regarder s'il tend vers 0 quand n tend vers \(+\infty\) .
Solution détaillée
Cherchons \(\underset{x \in E}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 1 | \Big \}\)
Or
\(|f_n(x) - 1 |= \left |1 -\frac{1}{1 + nf(x)} - 1\right| = \frac{1}{ 1 + nf (x)}\)
car\( \frac{1}{1 + nf(x)}\) > 0 1 + nf (x) étant donné que f (x) \(\geqslant\) a > 0 pour tout x de E.
\(\underset{x \in E}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 1 | \Big \} = \underset{x \in E}{sup} \Big \{ \frac{1}{1 + nf(x)} \Big \} = \frac{1}{1 + inf_{x \in E} \{ nf(x)\}} \leqslant \frac{1}{1 + na}\)
\(0 \leqslant \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty \textrm{ }} \left(\underset{x \in E}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 1 | \Big \} \right) \leqslant \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty \textrm{ }} \frac{1}{1 + na} = 0\)
donc \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty \textrm{ }} \left(\underset{x \in E}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 1 | \Big \} \right) = 0\)
Ceci montre bien que :
La suite (\(f_n\)) converge uniformément sur E vers la fonction constante égale à 1.