Définitions
On considère une situation qui est décrite par la valeur de plusieurs paramètres réels \(x_1, x_2, ..., x_n\), fonctions d'une variable réelle \(t\) (qui représente généralement le temps, mais pas forcément).
On s'intéresse au cas où ces valeurs obéissent à des "lois" donnant les dérivées \(x_i'(t)\) en fonction des valeurs de \(x_1, x_2, ..., x_n\), et éventuellement de \(t\). L'évolution du système est alors régie par un système de n équations du premier ordre :
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ccc}x'_1 & = & f_1(x_1,...,x_n) \\x'_2 &=&f_2(t,x_1,...,x_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x'_n & = & f_n(x_1,...,x_n)\end{array}\right.}\)
On écrit souvent un tel système \(x_i'= fi(t, x_1, x_2, ... x_n) (i = 1, ..., n).\) L'entier \(n\), nombre d'équations, est appelé la dimension du système.
Remarque :
Dans le cas (très courant) où le système comporte deux (ou trois) équations, on nomme souvent les fonctions inconnues \(x(t)\) et \(y(t)\) (ou \(x(t)\), \(y(t)\) et \(z(t)\) ).
La difficulté vient du fait qu'il ne s'agit pas de \(n\) équations indépendantes du premier ordre. L'équation vérifiée par \(x_1 '\) par exemple, dépend en général des valeurs prises par les autres fonctions \(x_2(t), .., x_n(t)\).
Par exemple dans le système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=x^2-ty \\ y'=\textrm{sin}(xy)+t^2\end{array}\right.}\)
chacune des dérivées \(x '\) et \(y '\) dépend à la fois de la variable \(t\) et des valeurs de \(x\) et \(y\).
Définition : Solution d'un système de n équations du premier ordre
On appelle solution du système
\(x_i'= fi(t, x_1, x_2, ... x_n) (i = 1, ..., n)\)
un ensemble de fonctions réelles dérivables \(u_1(t), ..., u_n(t)\), définies sur un même intervalle \(I\) de \(R\),et vérifiant, pour tout \(t \in I\),
\(u_i'(t) = f_i(t, u_1(t), u_2(t), .. u_n(t)) (i = 1, ..., n).\)
Exemple : Exemple 1
Soient A et B des réels quelconques.
Le couple de fonctions
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}u(t)=A\textrm{cos}t+B\textrm{sin}t \\ v(t)=-A\textrm{sin}t+B\textrm{cos}t\end{array}\right.}\)
est solution du système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=y \\ y'=-x\end{array}\right.}\)
puisqu'il est facile de vérifier que \(u '(t) = v(t) \textrm{ et }v '(t) = - u(t)\).
Remarquons que \((u(t),v(t))\) est solution de ce même système, quelles que soient les valeurs de \(A\) et \(B\) ; ce système possède donc une "double infinité" de solutions, dépendant des deux constantes arbitraires \(A\) et \(B\) (nous montrerons plus tard que ces solutions sont les seules). C'est un cas très général : les solutions d'un système de \(n\) équations du premier ordre dépendent généralement de \(n\) constantes arbitraires.
Exemple : Exemple 2
Le couple de fonctions définies pour \(t > 0\) par \(u(t) = 1/t , v(t) = t\) est une solution du système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'= - \frac{y}{t^3} \\ y'=tx\end{array}\right.}\)
Ce même couple de fonctions est aussi, par exemple, solution du système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=-x^4y^2 \\ y'=xy\end{array}\right.}\)
Remarquons que si on possède une solution définie sur un intervalle \(I\), on peut parfois la prolonger à un intervalle \(J\) contenant \(I\) et strictement plus grand ; si un tel prolongement est impossible (l'intervalle \(I\) étant donc le plus grand possible) on dira que la solution définie sur \(I\) est maximale.
Dorénavant, nous ne considérerons que des solutions maximales, que nous appellerons tout simplement solutions.