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Définitions

On considère une situation qui est décrite par la valeur de plusieurs paramètres réels , fonctions d'une variable réelle (qui représente généralement le temps, mais pas forcément).

On s'intéresse au cas où ces valeurs obéissent à des "lois" donnant les dérivées en fonction des valeurs de , et éventuellement de . L'évolution du système est alors régie par un système de n équations du premier ordre :

On écrit souvent un tel système L'entier , nombre d'équations, est appelé la dimension du système.

Remarque

Dans le cas (très courant) où le système comporte deux (ou trois) équations, on nomme souvent les fonctions inconnues et (ou , et ).

La difficulté vient du fait qu'il ne s'agit pas de équations indépendantes du premier ordre. L'équation vérifiée par par exemple, dépend en général des valeurs prises par les autres fonctions .

Par exemple dans le système

chacune des dérivées et dépend à la fois de la variable et des valeurs de et .

Définition : Solution d'un système de n équations du premier ordre

On appelle solution du système

un ensemble de fonctions réelles dérivables , définies sur un même intervalle de ,et vérifiant, pour tout ,

Exemple : Exemple 1

Soient A et B des réels quelconques.

Le couple de fonctions

est solution du système

puisqu'il est facile de vérifier que .

Remarquons que est solution de ce même système, quelles que soient les valeurs de et ; ce système possède donc une "double infinité" de solutions, dépendant des deux constantes arbitraires et (nous montrerons plus tard que ces solutions sont les seules). C'est un cas très général : les solutions d'un système de équations du premier ordre dépendent généralement de constantes arbitraires.

Exemple : Exemple 2

Le couple de fonctions définies pour par est une solution du système

Ce même couple de fonctions est aussi, par exemple, solution du système

Remarquons que si on possède une solution définie sur un intervalle , on peut parfois la prolonger à un intervalle contenant et strictement plus grand ; si un tel prolongement est impossible (l'intervalle étant donc le plus grand possible) on dira que la solution définie sur est maximale.

Dorénavant, nous ne considérerons que des solutions maximales, que nous appellerons tout simplement solutions.

Légende :
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