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Existence et unicité des solutions

Nous avons évoqué le fait qu'un système différentiel de la forme

admet en général une infinité de solutions. Nous admettrons le théorème suivant, qui généralise le théorème analogue portant sur les équations différentielles.

Théorème : Théorème d'existence et d'unicité (Cauchy -Lipschitz)

Considérons un système différentiel

dans lequel les fonctions sont définies et continues sur un même domaine de et possèdent des dérivées partielles par rapport aux qui sont continues sur .

Alors, si l'on se donne des réels et , avec appartenant à , il existe une unique solution , définie sur un intervalle maximal contenant , qui vérifie les conditions initiales .

Exemple

Nous avons vu que les fonctions

sont solutions du système

Elles sont définies sur tout entier.

On a toujours .

La solution unique qui verifie et est donc

Remarque

Au début de ce chapitre, nous annoncions que les solutions d'un système de dimension dépendent en général du choix de constantes arbitraires : c'est bien le cas sous les hypothèses du théorème ci-dessus, ces constantes correspondent en effet au choix des conditions initiales .

Notation vectorielle

En notation vectorielle, le théorème ci-dessus s'exprime de façon plus compacte :

Théorème : Théorème d'existence et d'unicité (version vectorielle)

Soit un système , où est continue sur un domaine de et admet des dérivées partielles par rapport aux coordonnées de dans , qui sont continues sur . Alors, pour tout et tels que appartient à , il existe une solution maximale unique vérifiant la condition initiale .

Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, le système s'écrit

La solution vérifiant s'écrit

Remarque

Si l'on se donne un système différentiel quelconque, même de dimension 2, on a beau savoir, en appliquant le théoreme ci-dessus, qu'il possède des solutions, il est très rare que l'on sache donner des formules explicites pour ces solutions. Nous consacrerons le chapitre 2 aux systèmes linéaires à coefficients constants : ce sont quasiment les seuls pour lesquels il existe des méthodes générales permettant d'expliciter les solutions.

Légende :
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